Semiquadratische Algebren

DISSERTATION zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften im Fachbereich Mathematik der

FernUniversität Gesamthochschule

in Hagen vorgelegt von

Frank Rosemeier aus Düsseldorf

Hagen 2002

Tag der Abgabe:  12. März 2002
Tag der mündlichen Prüfung: 26. April 2002
Erster Gutachter:  Prof. Dr. H. P. Petersson,

FernUniversität Hagen

Zweiter Gutachter:  Prof. Dr. R. Börger,

FernUniversität Hagen

Inhalt

Einleitung

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Quadratische Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Quadratische Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Algebren mit Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Linksquadratische Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5 Semiquadratische Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6 Der quadratische Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 8 Die Peirce-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 9 Multiplikative Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 10 Annullatorerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 11 Die Multiplikationsalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 12 Einfache semiquadratische Algebren . . . . . . . . . . . . . . . 64 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 A Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 B Bemerkungen zum konstruktiven Ansatz . . . . . . . . . . . . 75 C Computerberechnungen mit Albert . . . . . . . . . . . . . . . 76 D DIN-Standardnotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 E Erläutertes Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 F Formelverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 G Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Den Anstoß zu dieser Arbeit gaben bekannte Resultate von Petersson über Quasi-Kompositionsalgebren, das sind nicht-assoziative Algebren mit einer multiplikativen quadratischen Form, deren Bilinearisierung schwach nichtausgeartet ist. (Bei Kompositionsalgebren wird zusätzlich die Existenz eines Einselementes verlangt.) Er beweist folgende Aussage [Pe71, Prop. 2].

Eine zweidimensionale Quasi-Kompositionsalgebra A über einem Körper k ist entweder eine Kompositionsalgebra, oder es gibt auf dem zu A gehörenden k-Vektorraum eine zweidimensionale Kompositionsalgebra C mit Multiplikation (x, y) ↦ x · y, so dass die Multiplikation (x, y) ↦ x ∗ y von A durch eine der folgenden Gleichungen gegeben wird.

(a) x ∗ y = \overline{x} · y.
(b) x ∗ y = x · \overline{y}.
(c) x ∗ y = u · \overline{x} · \overline{y} für ein festes u ∈ A mit q(u) = 1,

wobei q die (nach [Pe71, Prop. 1] eindeutige) quadratische Form von A bezeichnet.

Hierbei ist J : C ⟶ C, x ↦ \overline{x} die Standardinvolution von C.

Die Algebren vom Typ (c) sind kommutativ und erfüllen die Identität

(x ∗ y) ∗ x = q(x) y = x ∗ (y ∗ x).

Sie wurden von Petersson systematisch untersucht (siehe [Pe69]) und werden heute Petersson-Algebren genannt, vgl. [KnMeRoTi98] § 34.B, p. 466ff. Zu untersuchen bleiben die Algebren vom Typ (a). (Der Fall (b) ergibt sich daraus durch Übergang zur entgegengesetzten Algebra C^{op}.) Für die neue Multiplikation x ∗ y := \overline{x} · y gelten in Kompositionsalgebren beliebiger Dimension folgende Identitäten:

(SQ1) (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = ((x ∗ x) ∗ y) ∗ z,

(SQ2) (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = y ∗ ((x ∗ x) ∗ z),

(SQ3) (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = (z ∗ y) ∗ (x ∗ x),

(SQ4) (x ∗ x) ∗ (y ∗ y) = (x ∗ y) ∗ (x ∗ y).

Die Multiplikativität der quadratischen Form wird hierbei nur zum Nachweis von (SQ4) benötigt, (SQ1) und (SQ2) gelten sogar für beliebige quadratische Algebren (nicht-assoziative Algebren, in denen x^{2} − t(x) x + n(x) 1 = 0 für alle x gilt mit einer Linearform t und einer quadratischen Form n; dies ist in jeder Kompositionsalgebra der Fall). Um (SQ3) zu zeigen wird zusätzlich verlangt, dass die kanonische Konjugation der quadratischen Algebra ein Antihomomorphismus ist, also \overline{x · y} = \overline{y} · \overline{x} gilt. Weil recht bald deutlich wurde, dass sich für nicht-assoziative Algebren mit den Identitäten (SQ1) und (SQ2) bereits wesentliche Strukturaussagen gewinnen lassen, konzentriere ich mich in der vorliegenden Arbeit auf die Untersuchung von Algebren, deren Multiplikation ∗ diesen beiden Bedingungen genügt. Wegen ihrer engen Beziehung zu quadratischen Algebren sollen sie semiquadratische Algebren genannt werden.

Die hier präsentierte Theorie semiquadratischer Algebren ist konstruktiv in dem Sinne, dass bei ihrer Entwicklung auf Verwendung des Auswahlaxioms verzichtet werden kann, ebenso auf Benutzung des logischen Prinzips vom ausgeschlossenen Dritten. Das hat den Vorteil, dass die erhaltenen Resultate bei Bedarf auch programmiert (und so mit Hilfe eines Computers berechnet) werden könnten. Einige Bemerkungen zum konstruktiven Ansatz finden sich im Anhang B während Anhang C beispielhaft zeigt, wie bei der Arbeit mit dem Computerprogrammes Albert, das Berechnungen in nicht-assoziativen Algebren gestattet, eine interessante Frage auftritt, die freie semiquadratische Algebren mit einem Erzeugenden betrifft.

Inhaltsübersicht

Nach einem kurzen Vorspann zur Einführung der in dieser Arbeit verwendeten Bezeichnungen und Vereinbarungen werden in den ersten drei Abschnitten die erforderlichen Grundbegriffe bereitgestellt (nämlich quadratische Abbildungen in Abschnitt 1, quadratische Algebren in Abschnitt 2, kanonische Konjugation in Abschnitt 3). Dieses Material dürfte Experten nicht neu sein (abgesehen vielleicht vom in 3.2 eingeführten Begriff der Konjugation für unitäre Algebren), es wird hier aus Gründen der Bequemlichkeit aufgenommen. Abschnitt 4 verallgemeinert den Begriff der quadratischen Algebra zu dem der linksquadratischen Algebra, bei dem auf die Forderung der Existenz eines Einselementes verzichtet wird. Für linksquadratische Algebren Q gehört die in 4.8 definierte linkskonjugierte Algebra Q_{∗} stets zur Klasse der in Abschnitt 5 behandelten semiquadratischen Algebren. Wichtige Hilfsmittel zur Untersuchung einer semiquadratischen Algebra A sind der in Abschnitt 6 besprochene quadratische Kern Sq(A) (die durch sämtliche Quadrate erzeugte Teilalgebra von A) und der davon abgeleitete (semiquadratische) Multiplikationsring S_{1}(A) (die durch die Linksmultiplikationen L_{s} für s ∈ Sq(A) erzeugte unitäre Teilalgebra von End_{R}(A)).

Abschnitt 7 befasst sich mit Potenzen in semiquadratischen Algebren; er endet mit der Feststellung, dass auch im semiquadratischen Kontext der Satz von Albert gilt (cf. [Al61] Ch. II.6, Thm. 8, p. 23), nach dem (im endlichdimensionalen Fall) die Existenz nicht-trivialer Idempotente c^{2} = c ∈ A gewährleistet ist, sofern es nicht-nilpotente Elemente gibt. In der Theorie der nicht-assoziativen Algebren hat sich die Peirce-Zerlegung (Zerlegung in die Eigenräume der Links- und Rechtsmultiplikation für ein Idempotent) als entscheidendes Werkzeug bei den Struktur-Untersuchungen erwiesen. Der Peirce-Zerlegung semiquadratischer Algebren widmen wir uns in den Abschnitten 8 und 9. Dabei stellen wir fest, dass sich jede semiquadratische Algebra A mit Linkseinselement e aus einem quadratischen Anteil Q_{e}(A) und einem zusätzlichen Annullatoranteil Z_{e}(A) mit Z_{e}(A) ∗ A = {0} zusammensetzt: A = Q_{e}(A)⊕Z_{e}(A) (vgl. 9.9). Diese von uns als Annullatorerweiterung bezeichnete Konstruktion wird in Abschnitt 10 allgemein eingeführt und untersucht. Eine Beschreibung der in Abschnitt 11 ins Auge gefassten Multiplikationsalgebra M(A′) für derartige Annullatorerweiterungen A′ = Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] gibt Proposition 11.4. Mit ihrer Hilfe kann in 11.9 der Aufbau von Idealen solcher Algebren A′ beschrieben werden. Schließlich befasst sich Abschnitt 12 mit einfachen semiquadratischen Algebren. Es zeigt sich dabei, dass einfache semiquadratische Algebren nicht selten ein Linkseinselement besitzen, insbesondere ist das der Fall, wenn ein nicht-triviales Idempotent existiert (vgl.12.4). Als Hauptresultat dieser Arbeit ist das Einfachheitskriterium für semiquadratische Algebren der Form Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] anzusehen (Satz 12.7). Dieses Kriterium verhilft uns zu der Einsicht, dass es eine reichhaltige Klasse einfacher semiquadratischer Algebren gibt, welche die Klasse der linkskonjugierten Algebren von einfachen quadratischen Algebren echt umfasst. Aus Sicht der Theorie der nicht-assoziativen Algebren bilden die semiquadratischen Algebren daher eine interessante Klasse, die zu weiteren Untersuchungen Anlass geben könnte.

Danksagung

Für die Anregung zu dieser Arbeit, die hervorragende Betreuung bei ihrer Durchführung und die vielen klärenden Gespräche danke ich Prof. Holger P. Petersson ganz herzlich. Prof. Reinhard Börger möchte ich ebenso für die zahlreichen interessanten mathematischen Diskussionen danken wie dafür, dass er sich so kurzfristig zur Begutachtung meiner Dissertation bereit erklärt hat. Vielen Dank auch an Prof. Luise Unger, die in meinem Abschlusskolloquium den Dekan Prof. Franz Locher vertrat, und an Dr. Andreas Wiegner, der dort Protokoll geführt hat.

Außerdem danke ich meinen derzeitigen sowie ehemaligen Kolleginnen und Kollegen für das angenehme Arbeitsklima. Sowohl Petra Dittmer als auch Marlies Benner haben es mir durch die gute Zusammenarbeit und das Schreiben einiger Manuskripte erleichtert, meine Doktorarbeit voranzutreiben. Im November 1998 hielt ich im Rahmen des Oberseminars Algebra/Topologie einen Vortrag über erste Ergebnisse meiner Untersuchungen. Den Teilnehmerinnen und Teilnehmern des Oberseminars gilt mein Dank für ihr Interesse und für die anregenden Fragen in der abschließenden Diskussion. Prof. Karl-Goswin Große-Erdmann und Dr. Peter Brühne haben Entwürfe meiner Dissertation gelesen und mir hilfreiches Feedback dazu gegeben. Von meinen Kollegen Gerold Hartl, Henning Mohren und Dr. Manfred Schulte erhielt ich einige wertvolle Tipps zur Umsetzung des Manuskriptes in L^{A}TEX. Prof. Robert Wisbauer (Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf) verdanke ich den Hinweis auf L^{A}TEX, ohne den es nicht zu dieser Doktorarbeit in ihrer jetzigen Form gekommen wäre. Prof. D. Pokrass Jacobs (Clemson University, U.S.A.), stellte mir das Computerprogramm Albert zur Verfügung, mit dem die Berechnungen in Anhang C durchgeführt wurden. Herr Weber von der Fachbibliothek Mathematik hat mir in seiner freundlichen und hilfsbereiten Art Zugang zu vielen Büchern und Artikeln verschafft, die für mich beim Erstellen dieser Arbeit wichtig waren. Frau Behrenberg war mir im Dekanat behilflich bei Verfahrensfragen und hat mich auf eine Reihe von Druckfehlern aufmerksam gemacht. Vielen Dank ihnen allen.

Ferner danke ich meinen Eltern Irene und Heinz Müller dafür, dass sie in der Schlussphase der Doktorarbeit beim Renovieren des neuen Hauses geholfen haben, dass beide Projekte rechtzeitig abgeschlossen werden konnten. Auch Lothar und Rainer Dreßler sowie viele andere Verwandte und Freunde trugen sehr zum Gelingen bei. Petra Kinzel und Thea Rosemeier haben es mir mit ihrer Gastfreundschaft erleichtert einige Teile dieser Arbeit zu tippen. Ihnen allen bin ich sehr dankbar. Danken möchte ich auch Britta Petermeyer, die den Einband meiner Dissertation gestaltet hat und mir bei der Erstellung der Druckfassung viele wertvolle Hinweise gab. Schließlich möchte ich mich ganz besonders herzlich bei meiner Frau Monika bedanken. Sie hat in den letzten Jahren und besonders in den Wochen vor der Abgabe viel dafür getan, mir das Schreiben meiner Doktorarbeit zu ermöglichen. Ihr und unserer Tochter Lena Tabea widme ich diese Arbeit.

0 Einführung

Die Grundbegriffe aus der Theorie der Ringe und Moduln werden in dieser Arbeit als bekannt vorausgesetzt (s. [Bourbaki], [LehrbAlg1], [La91], [Wi88], eine konstruktive Darstellung dieser Theorie ist in [MiRiRu88] enthalten.) Hier werden die Vereinbarungen und Bezeichnungen eingeführt, an die wir uns bei der Darstellung halten wollen.

Ringe R sollen durchweg assoziativ (und meist kommutativ) sein und immer ein (mit 1_{R} bezeichnetes) Einselement besitzen (1_{R} · r = r = r · 1_{R} für alle r ∈ R), das auf R-(Links-)Moduln X stets unitär operiert (1_{R} x = x für alle x ∈ X). In einem R-Linksmodul X ist die lineare Hülle

Lin_{R}(W) := { ∑_{j=1}^{m} r_{k} w_{k} | r_{1}, …, r_{m} ∈ R, w_{1}, …, w_{m} ∈ W, m ∈ ℕ },

der durch die Teilmenge W von X erzeugte Untermodul von X, und

Lin_{R}(x_{1}, …, x_{k}) := Lin_{R}({x_{1}, …, x_{k}})

ist der durch die Elemente x_{1} …, x_{k} ∈ X erzeugte Untermodul von X.

Für jede Familie (x_{j})_{j∈J} von Elementen eine R-Linksmoduls X haben wir eine R-lineare Abbildung

Φ : R^{(J)} ⟶ X, (r_{j})_{j∈J} ↦ ∑_{j∈J} r_{j} x_{j}.

(In der formal unendlichen Summe kommen nach Definition von R^{(J)} nur endlich viele von Null verschiedene Summanden vor.) Das Bild dieser Abbildung Φ ist Φ[R^{(J)}] = Lin_{R}({ x_{j} | j ∈ J }, die lineare Hülle von { x_{j} | j ∈ J }, das heißt Φ ist genau dann surjektiv, wenn die Familie (x_{j})_{j∈J} ein Erzeugendensystem von X ist. Der Kern dieser Abbildung Φ ist Kern Φ = { (r_{j})_{j∈J} | ∑_{j∈J} r_{j} x_{j} = 0 }, das heißt Φ ist genau dann injektiv, wenn die Familie (x_{j})_{j∈J} linear unabhängig ist, also aus ∑_{j∈J} r_{j} x_{j} = 0 folgt r_{j} = 0 für alle r ∈ R. Die Familie (x_{j})_{j∈J} ist eine Basis von X wenn Φ bijektiv ist, also (x_{j})_{j∈J} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.

Die Menge aller R-linearen Selbstabbildungen von X bildet einen Untermodul des (mit den punktweise definierten Verknüpfungen versehenen) R-Moduls Abb(X, X). Der mit End_{R}(X) bezeichnete Endomorphismenring von X ist dieser Untermodul mit der Komposition ∘ von Abbildungen als Multiplikation. (Sind zwei Abbildungen h : U ⟶ V und h′ : V ⟶ W gegeben, so ist h′ ∘ h : U ⟶ W, x ↦ h′(h(x)).) Das Einselement des Endomorphismenringes ist die identische Abbildung Id : X ⟶X, Id(x) := x für alle x ∈ X, das Nullelement bezeichnen wir mit O, es ist der durch O x := 0 für alle x ∈ A definierten Nullendomorphismus.

1 Quadratische Abbildungen

Dieser Abschnitt soll Definition und elementare Eigenschaften quadratischer Abbildungen vergegenwärtigen.

1.1 Erinnerung (Bilineare Abbildungen) Sei R ein Ring und X, Y, Z seien R-Linksmoduln.

Eine Abbildung f : X ×Y ⟶Z heißt R-bilinear, wenn die Abbildungen f(x, ·) : Y ⟶ Z, y ↦ f(x, y) und f(·, y) : X ⟶ Z, x ↦ f(x, y) stets R-linear (d. h. R-Modul-Homomorphismen) sind (x ∈ X, y ∈ Y).

Im Falle X = Y und Z = R wird eine R-bilineare Abbildung (deren Werte im Grundring liegen) auch als Bilinearform (auf X) bezeichnet.

(Der Begriff der Bilinearität ist über kommutativen Ringen R üblich, siehe etwa [LehrbAlg1] §45. Aus technischen Gründen werden wir ihn auch in Situationen verwenden, in denen keine Kommutativität vorliegt.)

1.2 Definition (Quadratische Abbildungen) Sei R ein kommutativer Ring, X, Y seien R-Moduln.

Eine Abbildung g : X ⟶ Y heißt R-quadratisch, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

(QA1) g(rx) = r^{2}g(x) für alle r ∈ R, x ∈ X (Homogenität vom Grad 2; )

(QA2) Dg : X × X ⟶ Y, Dg(x, x′) := g(x + x′) − g(x) − g(x′)

ist eine R-bilineare Abbildung (genannt Bilinearisierung von g).

Eine R-quadratische Abbildungen mit Werten im Grundring (Y = R) wird als quadratische Form (auf X) bezeichnet.

1.3 Beobachtung (Symmetrie der Bilinearisierung) Die Bilinearisierung einer R-quadratischen Abbildung ist stets symmetrisch. Dabei wird eine Abbildung h : X × X ⟶ Y symmetrisch genannt, wenn für alle x, x′ ∈ X gilt h(x, x′) = h(x′, x).

1.4 Beispiel (Quadratur) Sei R ein kommutativer Ring, X, Y seien R-Moduln.

Mit Hilfe der Diagonalabbildung Δ : X ⟶ X × X, x ↦ (x, x) definieren wir zu jeder R-bilinearen Abbildung f : X × X ⟶ Y eine R-quadratische Abbildung Δ^{∗}f := f∘Δ, die Quadratur von f. Wir haben also Δ^{∗}f : X⟶Y, Δ^{∗}f(x) = f(x, x) und D(Δ^{∗}f)(x, x′) = f(x, x′) + f(x′, x) für alle x, x′ ∈ X.

1.5 Moduln von Abbildungen

1.5 Bemerkungen (Moduln von Abbildungen) Sei R ein kommutativer Ring, X, Y, Z seien R-Moduln.

(1) Die Menge der R-bilinearen Abbildungen

Bil_{R}(X × Y, Z) := { f ∈ Abb(X×Y, Z) | f ist R-bilinear }

ist ein Untermodul des (mit den punktweise definierten Verknüpfungen versehenen) R-Moduls Abb(X×Y, Z) aller Abbildungen f : X ×Y ⟶Z.

(2) Die Menge der R-quadratischen Abbildungen

Qu_{R}(X, Y) := { g ∈ Abb(X, Y) | g ist R-quadratisch }

ist ein Untermodul des (mit den punktweise definierten Verknüpfungen versehenen) R-Moduls Abb(X, Y) aller Abbildungen g : X ⟶ Y.

(3) Die Quadraturabbildung und die Bilinearisierungsabbildung

Δ^{∗} : Bil_{R}(X×X, Y) ⟶ Qu_{R}(X, Y), f ↦ Δ^{∗}f (vgl. 1.4)
D : Qu_{R}(X, Y) ⟶ Bil_{R}(X×X, Y), g ↦ Dg (vgl. (QA2))

sind R-linear.

(4) Wir haben Kern Δ^{∗} = AltBil_{R}(X×X, Y), wobei

AltBil_{R}(X×X, Y) := { f ∈ Bil_{R}(X×X, Y) | f ist alternierend }

der Untermodul aller alternierenden Abbildungen in Bil_{R}(X×X, Y) ist (d. h. aller f in Bil_{R}(X×X, Y) mit f(x, x) = 0 für alle x ∈ X).

(5) Es gilt Δ^{∗}(Dg) = 2g für alle g ∈ Qu_{R}(X, Y) und D(Δ^{∗}f) = 2f für alle f ∈ SymBil_{R}(X×X, Y), wobei

SymBil_{R}(X×X, Y) := { f ∈ Bil_{R}(X×X, Y) | f ist symmetrisch }

der Untermodul aller symmetrischen Abbildungen in Bil_{R}(X×X, Y) ist.

(6) Im Falle \frac{1}{2} ∈ R (d. h. 2_{R} := 1_{R} + 1_{R} invertierbar mit \frac{1}{2} := (2_{R})^{−1}) liefert D einen Isomorphismus

Qu_{R}(X, Y) ⟶ SymBil_{R}(X×X, Y), g ↦ Dg

mit Umkehrabbildung \frac{1}{2} Δ^{∗}|_{SymBil_{R}(X×X,Y)}.

(Für Abbildungen h : V ⟶W und Teilmengen U von V bezeichnen wir mit h|_{U} die Einschränkung von h auf U, also h|_{U} : U ⟶ W, x ↦ h(x).)

§1 Quadratische Abbildungen

1.6 Proposition (Quadratische Summenformel)

Sei R ein kommutativer Ring, X, Y seien R-Moduln und g : X ⟶ Y sei eine R-quadratische Abbildung.

Dann gilt für alle m ∈ ℕ, r_{1}, …, r_{m} ∈ R, x_{1}, …, x_{m} ∈ X

(QAΣ) g( ∑_{k=1}^{m} r_{k} x_{k}) = ∑_{k=1}^{m} r_{k}^{2} g(x_{k}) + ∑_{1≦j<k≦m} r_{j}r_{k} Dg(x_{j}, x_{k}).

[ Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion nach m. ]

1.7 Satz (Quadratische Fortsetzung)

Sei R ein kommutativer Ring, X sei ein freier R-Modul mit Basis (b_{j})_{j∈J} und Y ein beliebiger R-Modul.

Ist J total geordnet und sind Werte y_{jk} ∈ Y mit y_{jk} = y_{kj} für alle j, k ∈ J gegeben, so gibt es genau eine R-quadratische Abbildung g : X ⟶ Y mit

g(b_{j}) = y_{jj} und Dg(b_{j}, b_{k}) = y_{jk} für j ≠ k (j, k ∈ J).

Dabei ist g die Quadratur einer R-bilinearen Abbildung f : X × X ⟶ Y, es gilt also g = Δ^{∗}f.

(Verwendung des Auswahlaxioms würde automatisch für die Existenz einer totalen Ordnung auf J sorgen.)

Beweis: Die Eindeutigkeit von g folgt aus (QAΣ).

Zum Nachweis der Existenz bemerken wir, dass es genau eine R-bilineare Abbildung f : X × X ⟶ Y gibt mit

f(b_{j}, b_{k}) = \{ \begin{matrix}y_{jj} & für j = k \\ y_{jk} & für j < k \\ 0 & für j > k. \end{matrix}

Wegen f(b_{j}, b_{k}) + f(b_{k}, b_{j}) = y_{jk} für j ≠ k (j, k ∈ J) hat die R-quadratische Abbildung g := Δ^{∗}f die gewünschten Eigenschaften. □

1.8 Surjektivität der Quadraturabbildung

1.8 Korollar (Surjektivität der Quadraturabbildung) Sei R ein kommutativer Ring, Y sei ein R-Modul.

Dann ist für X = R^{(J)} mit total geordneter Indexmenge J die folgende Quadraturabbildung surjektiv

Δ^{∗} : Bil_{R}(R^{(J)}×R^{(J)}, Y) ⟶ Qu_{R}(R^{(J)}, Y), f ↦ Δ^{∗}f.

[ Ist g : R^{(J)}⟶Y eine quadratische Abbildung und (e_{j})_{j∈J} die Standardbasis von R^{(J)}, so setze y_{jj} := g(e_{j}), y_{jk} := Dg(e_{j}, e_{k}) für j ≠ k (j, k ∈ J); nun liefert Satz 1.7 eine bilineare Abbildung f mit g = Δ^{∗}f. ]

1.9 Folgerung (Matrizendarstellung quadratischer Abbildungen) Sei R ein kommutativer Ring, ℓ ≧ 1 und m ≧ 1 seien natürliche Zahlen. Bezeichne Mat_{ℓ,m}(R) den R-Modul aller ℓ×m-Matrizen und

Mat_{ℓ}(R) := Mat_{ℓ,ℓ}(R)

den Ring aller ℓ × ℓ-Matrizen mit Einträgen aus R. Für jeden R-Modul X sei ferner Qu_{R}(X) := Qu_{R}(X, R) der R-Modul aller quadratischen Formen auf X.

Die bijektive lineare Abbildung

β_{·} : Mat_{ℓ,m}(R) ⟶ Bil_{R}(R^{ℓ}×R^{m}, R) mit M ↦ β_{M}, β_{M}(x, y) := x^{T}M y für alle x ∈ R^{ℓ}, y ∈ R^{m},

liefert Δ^{∗}∘β_{·} : Mat_{ℓ}(R) ⟶ Qu_{R}(R^{ℓ}), eine (wegen 1.8) surjektive R-lineare Abbildung. Jede quadratische Form g auf R^{ℓ} läßt sich demnach durch eine Matrix M ∈ Mat_{ℓ}(R) mit g(x) = β_{M}(x, x) = x^{T}M y für alle x ∈ R^{ℓ} darstellen, wobei sich verschiedene Matrizen M, M′, die dieselbe quadratische Form darstellen, gerade um eine alternierende Matrix M_{0} unterscheiden: Aus β_{M} = β_{M′} und M_{0} = M − M′ folgt x^{T}M_{0} x = 0 für alle x ∈ ℝ^{ℓ}. (Eine ℓ×ℓ-Matrix M_{0} ist genau dann alternierend, wenn sie nur Nullen auf der Hauptdagonalen hat und außerdem schiefsymmetrisch ist, das heißt M_{0}^{T} = −M_{0} gilt.) Mit

AltMat_{ℓ}(R) := { M ∈ Mat_{ℓ}(R) | M ist alternierend },

dem Untermodul aller alternierenden ℓ×ℓ-Matrizen, gilt also

Qu_{R}(R^{ℓ}) ≅ Mat_{ℓ}(R)/ AltMat_{ℓ}(R),
β_{M} ↔ M + AltMat_{ℓ}(R).

Zusammenfassung (Quadratische Abbildungen)

Es wurden quadratische Abbildungen definiert. Dabei haben wir Werte nicht nur im Grundring R zugelassen (quadratische Formen) sondern auch Werte in anderen R-Moduln. Proposition 11.4 verwendet derartige Abbildungen ξ̂, η̂, vgl. 11.3. Quadratische Formen werden in 2.1 benötigt bei der Definition quadratisch Algebren.

2 Quadratische Algebren

In diesem Abschnitt werden quadratische Algebren vorgestellt und einige elementare Eigenschaften festgehalten. Die in dieser Arbeit verwendeten Grundbegriffe aus der Theorie der nicht-assoziativen Algebren finden sich in Anhang A.

2.1 Definition (Quadratische Algebren) Sei R ein kommutativer Ring.

Eine R-Algebra Q mit Einselement 1_{Q} heißt quadratische Algebra, wenn es eine (als Normform bezeichnete) quadratische Form n : Q ⟶ R und eine (als Spurform bezeichnete) Linearform t : Q ⟶ R gibt, die folgende charakteristische Gleichung erfüllen:

(Q) x^{2} − t(x) x + n(x) 1_{Q} = 0 für alle x ∈ Q.

(Die benötigten Begriffe aus der Theorie der nicht notwendig assoziativen R-Algebren werden in Anhang A präsentiert.)

2.2 Beobachtungen (Potenzassoziativtät, Teilalgebren) Sei R ein kommutativer Ring und Q eine quadratische Algebra über R mit Normform n und Spurform t.

(1) Eine Teilalgebra Q_{1} von Q ist genau dann eine quadratische Algebra mit Normform n_{1} = n|_{Q_{1}} und Spurform t_{1} = t|_{Q_{1}}, wenn sie ein Einselement e enthält. Dafür kommt nur e = 1_{Q} in Betracht, wenn es in Q_{1} ein Element mit invertierbarer Norm gibt.

[ Multiplikation von (Q) mit e zeigt x^{2} − t(x) x + n(x) e = 0 für x ∈ Q_{1},

also n(x) e = t(x) x − x^{2} =_{(Q)} n(x) 1_{Q}. ]

(2) Für jedes x ∈ Q ist die lineare Hülle Lin_{R}(1_{Q}, x) = R[x], die durch x erzeugte unitäre Teilalgebra von Q, eine kommutativ-assoziative quadratische Algebra.

[ Wegen (Q) ist Lin_{R}(1_{Q}, x) multiplikativ abgeschlossen, für die beiden Erzeugenden 1_{Q}, x ergibt sich Kommutativität und Assoziativität. ]

(3) Die Potenzen eines Elementes x ∈ Q werden rekursiv definiert durch a^{0} := 1_{Q} und a^{k+1} := a^{k} · a für alle k ≧ 0. Nach (2) gilt nun

x^{j} · x^{k} = x^{j+k} für alle x ∈ Q, j, k ∈ ℕ,

das heißt Q ist potenzassoziativ.

§2 Quadratische Algebren

2.3 Beispiele (Quadratische Algebren vom Rang 2) Sei R ein kommutativer Ring.

(1) Bezeichne R[X] den Polynomring über R in der Unbestimmten X. Für α, β ∈ R ist Q_{(α,β)} := R[X]/R[X](X^{2} − βX − α1) eine kommutativassoziative R-Algebra. Setzen wir e := pr_{(α,β)}(1), j := pr_{(α,β)}(X) mit der kanonischen Projektion pr_{(α,β)} : R[X] ⟶ Q_{(α,β)}, so ist e Einselement und (e, j) eine Basis von Q_{(α,β)}. Es gilt j^{2} = αe + βj und durch

\begin{aligned}n_{(α,β)}(re + sj) & := & r^{2} + βrs − αs^{2}, \\ t_{(α,β)}(re + sj) & := & 2r + βs \end{aligned}

wird eine quadratische Form n_{(α,β)} : Q_{(α,β)} ⟶ R und eine Linearform t_{(α,β)} : Q_{(α,β)} ⟶ R definiert mit

x^{2} = r^{2}e + 2rs j + s^{2}(αe + βj)
= (2r^{2} + βrs)e + (2rs + βs^{2})j + (−r^{2} − βrs + αs^{2})e
= t_{(α,β)}(x) x − n_{(α,β)}(x) e

für alle x = re + sj ∈ Q_{(α,β)}, r, s ∈ R. Somit ist Q_{(α,β)} eine quadratische R-Algebra.

(2) Eine R-Algebra Q wird quadratische Algebra vom Typ (α, β) genannt, wenn sie ein Einselement e besitzt und eine Basis e, b mit b^{2} = αe + βb (e, b ∈ Q). Das ist genau dann der Fall, wenn es einen R-Algebren-Isomorphismus φ : Q ⟶ Q_{(α,β)} gibt. Dann ist Q eine quadratische Algebra mit Normform n = n_{(α,β)} ∘ φ und Spurform t = t_{(α,β)} ∘ φ.

(3) Quadratische R-Algebren vom Typ (α, 0) werden auch reinquadratisch genannt und mit R[\sqrt{α}] bezeichnet, wobei \sqrt{α} für j geschrieben wird.

(4) Die komplexen Zahlen ℂ ≅ ℝ[\sqrt{−1}] bilden eine quadratische ℝ-Algebra vom Typ (−1, 0).

(5) Speziell für α = 0 liefert (3) die Algebra der dualen Zahlen, die mit R[ε] bezeichnet wird, wobei ε für j geschrieben wird und ε^{2} = 0 gilt.

(6) Mit komponentenweise definierten Verknüpfungen ist die Algebra R ×R eine quadratische Algebra vom Typ (0, 1). Dabei ist die Normform durch (r_{1}, r_{2}) ↦ r_{1} · r_{2} und die Spurform durch (r_{1}, r_{2}) ↦ r_{1} + r_{2} gegeben (r_{1}, r_{2} ∈ R). [ Für e := (1, 1), b := (0, 1) ist e Einselement und e, b eine Basis von R×R mit b^{2} = b und (r_{1}, r_{2}) = r_{1}e + (r_{2} − r_{1})b. ]

2.4 Linearisierte charakteristische Gleichung

2.4 Notiz (Linearisierte charakteristische Gleichung) In quadratischen Algebren Q gilt die linearisierte charakteristische Gleichung

(Q′) x · y + y · x = t(x) y + t(y) x − Dn(x, y) 1_{Q} für alle x, y ∈ Q. Für 2-torsionsfreie Algebren (aus 2x = 0 folgt x = 0) ist (Q′) äquivalent zu (Q). Aus (Q) und (Q′) ergeben sich folgende Gleichungen (x ∈ Q):

(i) t(1_{Q}) x = (1_{R} + n(1_{Q}))x, (ii) (t(x) − Dn(x, 1_{Q}))1_{Q} = (2_{R} − t(1_{Q}))x. [ Setzen wir x + y für x in (Q) ein, so ergibt sich (x^{2} − t(x) x + n(x) 1_{Q})

+x · y + y · x − t(x) y − t(y) x + Dn(x, y) 1_{Q} + (y^{2} − t(y) y + n(y) 1_{Q})

= (x + y)^{2} − t(x + y) (x + y) + n(x + y) 1_{Q} = 0.

Umgekehrt setze y = x in (Q′) ein und kürze 2, um (Q) zu erhalten. Für (i) setze x = 1_{Q} in (Q) und multipliziere mit x, für (ii) setze y = 1_{Q} in (Q′). ]

2.5 Proposition (Eindeutigkeit von Normform und Spurform) Sei R ein kommutativer Ring.

In einer quadratischen Algebra Q, die unitär frei vom Rang ≥ 2 ist (das heißt es gibt eine Basis, die 1_{Q} und mindestens ein weiteres Element von Q enthält), sind Normforn n und Spurform t eindeutig bestimmt. Dabei gilt (1) n(1_{Q}) = 1_{R},

(2) t(1_{Q}) = 2_{R},

(3) t(x) = Dn(x, 1_{Q}) für alle x ∈ Q. Die Normierungsbedingungen (1), (2) und (3) sind bereits dann erfüllt, wenn es in Q ein Element b gibt, für das 1_{Q}, b linear unabhängig ist. [ Denn R[b] = Lin_{R}(1_{Q}, b) aus 2.2 ist dann unitär frei vom Rang 2. ] Beweis: Seien n und n′ Normformen sowie t und t′ Spurformen von Q. Zunächst liefert t′(x) x − n′(x) 1_{Q} = x^{2} = t(x) x − n(x) 1_{Q} die Gleichung

(∗) (t′(x) − t(x))x = (n′(x) − n(x))1_{Q} für alle x ∈ Q.

Speziell für x = b, ein beliebiges von 1_{Q} verschiedenes Basiselement, folgt daraus t′(b) − t(b) = 0, das heißt t′(b) = t(b). Gemäß 2.4 gilt weiter

(1_{R} − n(1_{Q}))b =_{(i)} (2_{R} − t(1_{Q}))b =_{(ii)} (t(b) − Dn(b, 1_{Q}))1_{Q},

also 1_{R} − n(1_{Q}) = 2_{R} − t(1_{Q}) = t(b) − Dn(b, 1_{Q}) = 0. Daher sind (1) und (2) erfüllt, ebenso (3) für alle Basiselemente, da t(1_{Q}) = 2 n(1_{Q}) = Dn(1_{Q}, 1_{Q}). Mit t′ statt t ergibt sich t′(1_{Q}) = 2_{R} = t(1_{Q}). Somit ist Übereinstimmung von t′ und t auf einer Basis gezeigt und damit t′ = t nachgewiesen, also wegen (∗) auch n′ = n, da 1_{Q} nach Voraussetzung linear unabhängig ist. □

2.6 Hinweis (Quadratische Algebren vom Rang 1) Ist α ∈ R, so wird R eine quadratische R-Algebra mit Norm n_{α}(r) = α r^{2} und Spur t_{α}(r) = (α + 1) r (wegen r^{2} = (α + 1) r^{2} − α r^{2} für alle r ∈ R).

Für α ≠ 1 zeigt dieses Beispiel, dass die Aussagen von Proposition 2.5 falsch werden, wenn 1_{Q} einziges Basiselement von Q ist.

2.7 Bezeichnungen (Quadratische Algebren mit Basispunkt) Sei R ein kommutativer Ring.

(1) Ist ϑ : X × X ⟶ R eine (nicht notwendig symmetrische) Bilinearform auf einem R-Modul X, so heißt ein Element e ∈ X mit ϑ(e, e) = 1 Basispunkt von ϑ.

Wenn e Basispunkt von ϑ ist, so definieren wir

x · x′ := ϑ(x, e) x′ + ϑ(e, x′) x − ϑ(x, x′) e für alle x, x′ ∈ X.

(Für symmetrisches ϑ erhalten wir dabei die bekannten Jordan-Algebren mit Basispunkt, vgl. Braun/Koecher, [BrKoe66] Kap. VI §5, S. 193ff.)

Für die sich so ergebende R-Algebra schreiben wir Q_{e}(X, ϑ). Sie ist eine quadratische R-Algebra mit Einselement e, Norm n(x) := ϑ(x, x) und Spur t(x) := ϑ(x, e) + ϑ(e, x) (x ∈ X). Wir bezeichnen sie daher als quadratische Algebra mit Basispunkt e zur Bilinearform ϑ.

2.8 Standardkonstruktion quadratischer Algebren

(2) Sei X_{0} ein R-Modul, und ϑ_{0} : X_{0} × X_{0} ⟶ R eine Bilinearform. Wir adjungieren einen Basispunkt zu ϑ_{0}, indem wir durch

\begin{aligned}ϑ(r ⊕ x_{0}, r′ ⊕ x′_{0}) & := & rr′ + ϑ_{0}(x_{0}, x′_{0}) \\ & & für alle r, r′ ∈ R, x_{0}, x′_{0} ∈ X_{0} \end{aligned}

eine Bilinearform ϑ auf X := R ⊕ X_{0} mit Basispunkt e := 1_{R} ⊕ 0 definieren. Dann ist Q_{e}(X, ϑ) eine quadratische Algebra über R mit Norm n(r⊕x_{0}) = r^{2}+ϑ_{0}(x_{0}, x_{0}) und Spur t(r⊕x_{0}) = 2r für alle r ∈ R, x_{0} ∈ X_{0}. Die Multiplikation in Q_{e}(X, ϑ) ist gegeben durch

(r ⊕ x_{0}) · (r′ ⊕ x′_{0}) = (rr′ − ϑ_{0}(x_{0}, x′_{0})) ⊕ (rx′_{0} + r′x_{0})

für alle r, r′ ∈ R, x_{0}, x′_{0} ∈ X_{0}.

2.8 Bemerkungen (Standardkonstruktion quadratischer Algebren) Sei R ein kommutativer Ring.

(1) Ist Q eine quadratische Algebra mit Einselement e, und f : Q × Q ⟶ Q eine alternierende R-bilineare Abbildung mit f(e, x) = 0 für alle x ∈ Q, so folgt auch f(x, e) = f(e + x, e + x) = 0. Mit der durch

μ_{f}(x, x′) := x · x′ + f(x, x′) für alle x, x′ ∈ Q

definierten R-Algebrenstruktur erhalten wir eine R-Algebra Q_{f}; wegen μ_{f}(x, x) = x^{2} ist sie eine quadratische Algebra mit demselben Einselement, derselben Normform und derselben Spurform wie Q.

(2) Sei X_{0} ein R-Modul, ϑ_{0} : X_{0} × X_{0} ⟶ R eine Bilinearform auf X_{0} und μ_{0} : X_{0} × X_{0} ⟶ X_{0} eine alternierende R-bilineare Abbildung. Durch

(r⊕x_{0})·(r′⊕x′_{0}) := (rr′−ϑ_{0}(x_{0}, x′_{0}))⊕(rx′_{0}+r′x_{0}+μ_{0}(x_{0}, x′_{0}))

für alle r, r′ ∈ R, x_{0}, x′_{0} ∈ X_{0} wird dann eine R-Algebrenstruktur auf X := R ⊕ X_{0} definiert. Die so entstehende R-Algebra X_{0}[ϑ_{0}, μ_{0}] ist nichts anderes als Q_{e}(X, ϑ)_{f} mit e := 1_{R} ⊕ 0, X := R ⊕ X_{0} sowie

\begin{aligned}ϑ(r ⊕ x_{0}, r′ ⊕ x′_{0}) & := & rr′ + ϑ(x_{0}, x′_{0}), \\ f(r ⊕ x_{0}, r′ ⊕ x′_{0}) & := & μ_{0}(x_{0}, x′_{0}) \end{aligned}

für alle r, r′ ∈ R, x_{0}, x′_{0} ∈ X_{0}, wobei wir die Bezeichnungen aus 2.7 und aus (1) verwendet haben. Somit ist X_{0}[ϑ_{0}, μ_{0}] eine quadratische Algebra mit Einselement 1_{R} ⊕ 0, Norm n(r⊕x_{0}) = r^{2}+ϑ_{0}(x_{0}, x_{0}) und Spur t(r⊕x_{0}) = 2r für alle r ∈ R, x_{0} ∈ X_{0}.

2.9 Notation (Kanonische Transformation) Sei R ein kommutativer Ring und Q eine quadratische Algebra über R mit Einselement 1_{Q}, Normform n und Spurform t.

Setzen wir \overline{x} := t(x) 1_{Q} − x für alle x ∈ Q, so ist folgende transformierte charakteristische Gleichung äquivalent zur charakteristischen Gleichung (Q) aus Definition 2.1

(Q_{τ}) x · τ(x) = n(x) 1_{Q} für alle x ∈ Q

mit der R-linearen Abbildung τ : Q ⟶ Q, x ↦ \overline{x}, die wir die kanonische Transformation von Q nennen.

Zusammenfassung (Quadratische Algebren)

Quadratische Algebren wurden hier definiert ohne Normierungsbedingungen wie n(1_{Q}) = 1_{R} oder t(1_{Q}) = 2_{R} zu verlangen. Diese beiden Bedingungen sind nach Proposition 2.5 für unitär freie quadratische Algebren erfüllt. Im nächsten Abschnitt wird die kanonische Transformation τ aus 2.9 genauer untersucht.

3 Algebren mit Konjugation

Aufgabe diesen Abschnittes ist es, für quadratische Algebren den Begriff der kanonischen Konjugation bereitzustellen. Axiomatisch entwickeln wir hier einen Zugang über Konjugationen beliebiger Algebren mit Einselement. Es zeigt sich, dass (unter sehr schwachen Voraussetzungen) die kanonische Transformation aus 2.9 eine Konjugation ist.

3.1 Motivation (Reinquadratische Konjugation) Auf den komplexen Zahlen ℂ haben wir die durch \overline{r + si} = r − si für r, s ∈ ℝ definierte Konjugation. Von ℂ ≅ ℝ[\sqrt{−1}] läßt sie sich auf reinquadratische Algebren R[\sqrt{α}] übertragen, denn die (ebenfalls als Konjugation bezeichnete) R-lineare Abbildung : R[\sqrt{α}] ⟶ R[\sqrt{α}] mit \overline{re + sj} := re − sj hat folgenden Eigenschaften (x ∈ R[\sqrt{α}]):

(1) \overline{e} = e,

(2) x · \overline{x} = n(x) e = \overline{x} · x mit n(x) = r^{2} − αs^{2} für x = re + sj ,

(3) x + \overline{x} = t(x) e mit t(x) = 2r für x = re + sj ,

(4) n(\overline{x}) = n(x),

(5) t(\overline{x}) = t(x),

(6) \overline{\overline{x}} = x.

3.2 Definition (Konjugation) Sei R ein kommutativer Ring und A eine R-Algebra mit Einselement 1_{A}.

Eine R-lineare Abbildung κ : A ⟶ A bezeichnen wir als Konjugation, wenn sie den folgenden Bedingungen genügt.

(K1)  κ(1_{A}) = 1_{A},  (Unitarität)
(K2)  x · κ(x) ∈ R 1_{A} für alle x ∈ A.  (Normeigenschaft)

3.3 Feststellung (Eigenschaften von Konjugationen) Sei R ein kommutativer Ring und A eine R-Algebra mit Einselement 1_{A} und einer Konjugation κ : A ⟶ A.

Für alle x ∈ A gilt dann

(1) x + κ(x) ∈ R 1_{A}, (Spureigenschaft)

(2) x · κ(x) = κ(x) · x, (Vertauschbarkeit)

(3) κ(κ(x)) = x. (Involutivität)

§3 Algebren mit Konjugation

Beweis:

(1) Wir bemerken 1_{A} + κ(x) + x + x · κ(x) = (1_{A} + x) · κ(1_{A} + x) ∈ R 1_{A}.

(2) Wegen (1) haben wir x · (x + κ(x)) = (x + κ(x)) · x.

(3) Wegen (1) und (K1) gilt κ(x + κ(x)) = x + κ(x). □

3.4 Beobachtung (Kanonische Konjugation) Sei R ein kommutativer Ring und Q eine quadratische Algebra über R mit Normform n und Spurform t.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) Die R-lineare Abbildung τ : Q ⟶ Q, x ↦ \overline{x} = t(x) 1_{Q} − x (vgl. 2.9) ist eine Konjugation.

(b) Es gilt \overline{1_{Q}} = 1_{Q}.

(c) Es gilt n(1_{Q}) x = x für alle x ∈ Q.

(d) Es gilt t(1_{Q}) x = 2x für alle x ∈ Q.

(e) Es gilt Dn(x, 1_{Q}) y = t(x) y für alle x, y ∈ Q.

Ist eine (und damit jede) der obigen Bedingungen erfüllt, so bezeichnen wir die Abbildung τ : Q ⟶ Q, x ↦ \overline{x} aus (a) als kanonische Konjugation der quadratischen Algebra Q. (Diese Situation ist jedenfalls dann gegeben, wenn eine der Bedingungen (1),

(2) oder (3) aus Proposition 2.5 erfüllt ist, dazu genügt die Existenz eines Elementes b, für das 1_{Q}, b linear unabhängig ist.)

[ (a) ⇔ (b) ist klar, da (K2) wegen (Q_{τ}) aus 2.9 stets erfüllt ist. Mit x = 1_{Q} liefert (Q_{τ}) auch (b) ⇔ (c), während (c) ⇔ (d) ⇔ (e) aus 2.4 folgt. ]

3.5 Beispiele (Kanonische Konjugationen vom Rang 1 und 2)

(1) Einzige Konjugation auf R ist die identische Abbildung id_{R}; daher liefert die Spurform t_{α}(r) := (α + 1) · r aus Hinweis 2.6 genau für α = 1 eine kanonische Konjugation: \overline{r} = t_{α}(r) 1_{R} − r = α · r (r ∈ R).

(2) Die quadratischen Algebren vom Typ (α, β) aus 2.3 besitzen stets eine kanonische Konjugation, denn t_{(α,β)}(1 e + 0 j) = 2. Für R[\sqrt{α}], die reinquadratischen Algebren aus 2.3 (3), ergibt sich die Konjugation aus 3.1, denn \overline{re + sj} = t(re + sj)e − (re + sj) = 2re − re − sj = re − sj.

3.6 Eigenschaften kanonischer Konjugationen

(3) Im Falle der quadratischen Algebra R × R aus Beispiel 2.3 (6) gilt

\overline{(r, s)} = t(r, s) (1, 1) − (r, s) = (r + s, r + s) − (r, s) = (s, r) für alle (r, s) ∈ R × R, das heißt die kanonische Konjugation vertauscht hier gerade die Komponenten der Paare (Vertauschungs-Konjugation).

(4) In quadratischen Algebren mit Basispunkt (vgl. 2.7) sind die Bedingungen aus 3.4 erfüllt, ebenso bei den Algebren X_{0}[ϑ_{0}, μ_{0}], siehe 2.8

3.6 Proposition (Eigenschaften kanonischer Konjugationen) Sei R ein kommutativer Ring und Q eine quadratische Algebra über R mit kanonischer Konjugation (\overline{1_{Q}} = 1_{Q}, vgl. 3.4).

Dann gilt für alle x, y ∈ Q

(1) n(\overline{x}) = n(x),

(2) t(\overline{x}) = t(x),

(3) n(x^{2}) y = n(x)^{2} y,

(4) t(x^{2}) y = (t(x)^{2} − 2n(x)) y,

(5) Dn(\overline{x}, \overline{y}) = Dn(x, y). Beweis: Wir verwenden die Eigenschaften (c), (d) und (e) aus 3.4.

(1): \begin{aligned}n(\overline{x}) & = & n(t(x) 1_{Q}) − Dn(t(x) 1_{Q}, x) + n(−x) \\ & = & t(x)^{2} n(1_{Q}) − t(x) Dn(1_{Q}, x) + (−1)^{2}n(x) \\ & =_{(c)} & t((t(x) − Dn(1_{Q}, x)) x) + n(x) =_{(e)} n(x). \end{aligned}

(2): t(\overline{x}) = t(t(1_{Q}) x) − t(x) =_{(d)} 2 t(x) − t(x) = t(x).

(3): Nach (Q) gilt

\begin{aligned}n(x^{2}) y & = & n(t(x) x − n(x) 1_{Q}) y \\ & = & t(x) n(x) (t(x) − Dn(x, 1_{Q})) y + n(x)^{2} n(1_{Q}) y = n(x)^{2} y \end{aligned}

wegen (e) und (c). (4): Nach (Q) gilt t(x^{2}) y = t(t(x) x − n(x) 1_{Q}) y =_{(d)} (t(x)^{2} − 2n(x)) y. (5): Linearisiere (1) durch Einsetzen von x + y für x in (1). □

3.7 Erinnerung (Zerlegung nach involutorischer linearer Abbildung) Sei R ein kommutativer Ring mit \frac{1}{2} ∈ R, und X ein R-Modul. Weiter sei Ψ : X ⟶ X eine lineare Abbildung, die involutorisch in dem Sinne ist, dass Ψ^{2} = Id gilt, also Ψ(Ψx) = x für alle x ∈ X.

Dann gilt X = X_{+} ⊕ X_{−} als direkte Summe der R-Untermoduln

\begin{aligned}X_{+} & := & \{ x ∈ X | Ψx = x \} \\ X_{−} & := & \{ x ∈ X | Ψx = −x \} \end{aligned}

mit zugehörigen Projektionen P_{+} := \frac{1}{2}(Id +Ψ), P_{−} := \frac{1}{2}(Id −Ψ).

3.8 Satz (Zerlegung quadratischer Algebren mit Konjugation) Sei R ein kommutativer Ring mit \frac{1}{2} ∈ R und Q eine quadratische Algebra über R mit kanonischer Konjugation (das heißt \overline{1_{Q}} = 1_{Q}, vgl. 3.4).

Dann ist Q = S(Q) ⊕ V(Q) direkte Summe der R-Untermoduln

\begin{aligned}S(Q) & := & \{ x ∈ Q | \overline{x} = x \} \\ V(Q) & := & \{ x ∈ Q | \overline{x} = −x \} \end{aligned}

mit zugehörigen Projektionen P_{S} und P_{V} definiert durch P_{S} x := \frac{1}{2}(x + \overline{x}), P_{V} x := \frac{1}{2}(x − \overline{x}) für alle x ∈ Q.

Der skalare Anteil S(Q) = R 1_{Q} und V(Q) = { x ∈ Q | t(x) 1_{Q} = 0 }, der vektorielle Anteil, sind bezüglich Dn zueinander orthogonal, es gilt also Dn[V(Q) × S(Q)] = {0}. Das Quadrat eines Elementes von V(Q) liegt stets in S(Q).

Beweis: Wegen \overline{\overline{x}} = x für alle x ∈ Q, vgl. 3.3 (3), liefert 3.7 die gewünschte Darstellung als direkte Summe.

Aus \overline{1_{Q}} = 1_{Q} folgt R 1_{Q} ⊆ S(Q), wegen P_{S}x = \frac{1}{2}(x + \overline{x}) = \frac{1}{2}t(x) 1_{Q} für alle x ∈ Q haben wir S(Q) = R 1_{Q}. Weiter gilt x + \overline{x} = t(x) 1_{Q} (x ∈ Q) nach Definition 2.9, also V(Q) = { x ∈ Q | t(x) 1_{Q} = 0 }.

Zum Nachweis der Orthogonalität stellen wir fest, dass nach 3.6 (5) gilt

D n(x, y) = D n(\overline{x}, \overline{y}) = − D n(x, y)
für alle x ∈ S(Q), y ∈ V(Q).

Schließlich bemerken wir x^{2} + n(x) 1_{Q} =_{(Q)} 0 für alle x ∈ V(Q). □

3.9 Antikommutativer Anteil

3.9 Korollar (Antikommutativer Anteil) Sei R ein kommutativer Ring mit \frac{1}{2} ∈ R und Q eine quadratische Algebra über R mit kanonischer Konjugation (vgl. 3.4), Normform n und Spurform t.

Wenn Q unitär treu ist, also

r 1_{Q} = 0 nur für r = 0 (r ∈ R)

gilt, dann gibt es auf dem R-Untermodul Q_{0} := { x ∈ Q | t(x) = 0 } von Q genau eine Bilinearform ϑ_{0} : Q_{0} × Q_{0} ⟶ R und genau eine alternierende R-bilineare Abbildung μ_{0} : Q_{0} ×Q_{0} ⟶Q_{0} mit Q ≅ Q_{0}[ϑ_{0}, μ_{0}] (vgl. 2.8 (2)).

Die durch μ_{0} definierte antikommutative R-Algebra auf Q_{0} nennen wir den antikommutativen Anteil von Q und bezeichnen ihn mit A(Q). (Eine R-Algebra A wird antikommutativ genannt, wenn für alle x ∈ A gilt x · x = 0.)

Beweis: In 3.8 haben wir S(Q) = R 1_{Q} ≅ R und V(Q) = Q_{0}, weil Q unitär treu ist. Jedes x ∈ Q hat ferner die Zerlegung x = \frac{1}{2}t(x) 1_{Q} + P_{V} x. Wir setzen nun ϑ_{0}(x_{0}, x′_{0}) := −\frac{1}{2}t(x_{0} · x′_{0}) und μ_{0}(x_{0}, x′_{0}) := P_{V}(x_{0} · x′_{0}) für alle x_{0}, x′_{0} ∈ Q_{0}. So erhalten wir die R-bilinearen Abbildungen ϑ_{0} : Q_{0} × Q_{0} ⟶ R und μ_{0} : Q_{0} × Q_{0} ⟶ Q_{0} mit μ_{0}(x_{0}, x_{0}) = 0 für alle x_{0} ∈ Q_{0} (da x_{0} · x_{0} ∈ S(Q)) sowie

(r 1_{Q} + x_{0}) · (r′ 1_{Q} + x′_{0}) = (rr′ − ϑ_{0}(x_{0}, x′_{0})) 1_{Q} + (rx′_{0} + r′x_{0} + μ_{0}(x_{0}, x′_{0}))

für alle r, r′ ∈ R, x_{0}, x′_{0} ∈ Q_{0}, daher ist Q isomorph zu Q_{0}[ϑ_{0}, μ_{0}]. Wegen x_{0}·x′_{0} = ϑ_{0}(x_{0}, x′_{0}) 1_{Q}+μ_{0}(x_{0}, x′_{0}) für alle x_{0}, x′_{0} ∈ Q_{0} sind ϑ_{0} und μ_{0} eindeutig bestimmt. □

Zusammenfassung (Algebren mit Konjugation)

Nach kurzem Betrachten allgemeiner Algebren mit Konjugation konnten wir in 3.4 feststellen, dass die kanonische Transformation aus 2.9 unter sehr schwachen Voraussetzungen eine Konjugation ist (beispielsweise wenn eine der Normierungsbedingungen n(1_{Q}) = 1_{R} oder t(1_{Q}) = 2_{R} gilt).

Die angenehmen Eigenschaften (vgl. 3.3 und 3.6) dieser dann als kanonische Konjugation bezeichneten Abbildung können (im Falle \frac{1}{2} ∈ R) dazu benutzt werden, eine Zerlegung quadratischer Algebren in einen skalaren und einen vektoriellen Anteil vorzunehmen (siehe 3.8).

Bevor wir uns wie in der Einleitung angekündigt in Abschnitt 5 den semiquadratischen Algebren zuwenden, werden wir zunächst in Abschnitt 4 linksquadratische Algebren betrachten, das sind ”quadratische Algebren ohne Einselement“.

4 Linksquadratische Algebren

Wir verallgemeinern nun den Begriff der quadratischen Algebra derart, dass auch Algebren erfasst werden, die möglicherweise kein Einselement besitzen.

4.1 Definition (Linksquadratische Algebren) Sei R ein kommutativer Ring.

Wir wollen eine (nicht notwendig assoziative) R-Algebra Q als linksquadratische Algebra bezeichnen, wenn es eine (als Normform bezeichnete) quadratische Form n : Q ⟶ R und eine (als Spurform bezeichnete) Linearform t : Q ⟶ R gibt mit L_{x^{2}} − t(x) L_{x} + n(x) Id = O für alle x ∈ Q; es ist also folgende charakteristische Gleichung erfüllt:

(LQ) x^{2} · y − t(x) x · y + n(x) y = 0 für alle x, y ∈ Q.

4.2 Beobachtungen (Links-/rechts-/quadratische Algebren)

(1) Eine Algebra ist genau dann quadratisch, wenn sie linksquadratisch ist und ein Einselement besitzt.

[ Wende R_{y} auf (Q) an um (LQ) zu erhalten, umgekehrt setze y = 1_{Q} in (LQ) ein und es ergibt sich (Q). ]

(2) Jede Teilalgebra Q_{1} einer linksquadratischen Algebra Q mit Normform n und Spurform t ist linksquadratisch mit Normform n_{1} := n|_{Q_{1}} und Spurform t_{1} := t|_{Q_{1}}.

(3) Dual zu Definition 4.1 lassen sich rechtsquadratische Algebren einführen. Eine Algebra Q ist genau dann rechtsquadratisch, wenn ihre entgegengesetzte Algebra Q^{op} linksquadratisch ist.

(4) Algebren, die zu (nicht notwendig unitären) Teilalgebren quadratischer Algebren isomorph sind (subquadratische Algebren), sind sowohl linksals auch rechtsquadratisch.

[ Wenn Q eine linksquadratische Algebra über R mit Normform n und Spurform t ist, A eine R-Algebra sowie φ : Q ⟶ A ein R-Algebren-Isomorphismus, so ist auch A eine linksquadratische Algebra über R mit Normform n ∘ φ^{−1} und Spurform t ∘ φ^{−1}. ]

4.3 Linksquadratische Algebren

4.3 Beispiele (Linksquadratische Algebren) Sei R ein kommutativer Ring.

(1) Auf einem R-Modul X wird zu jeder Linearform λ : X ⟶ R durch x ·_{λ} x′ := λ(x) x′ für alle x, x′ ∈ X eine R-Algebrenstruktur definiert. Für die so entstehenden R-Algebra X_{λ} ist λ : X_{λ} ⟶ R ein R-Algebren-homomorphismus, denn es gilt λ(x ·_{λ} x′) = λ(x) λ(x′) für alle x, x′ ∈ X. Wählen wir nun t = λ als Spurform , so erweist sich X_{λ} als linksquadratische Algebra mit trivialer Normform n = 0.

(2) Eine R-Algebra Q ist genau dann eine linksquadratische Algebra mit trivialer Spurform t = 0, wenn eine quadratische Form g auf Q existiert mit x^{2} · y = g(x) y für alle x, y ∈ Q. (Den Zusammenhang liefert die Beziehung g = −n.)

Wir stellen fest, dass die R-Algebra X_{λ} aus (1) auch linksquadratisch mit trivialer Spurform ist, denn es gilt (x ·_{λ} x) ·_{λ} x′ = λ(x)^{2} x′ für alle x, x′ ∈ X.

(3) In antikommutativen Algebren gilt definitionsgemäß (vgl. 3.9) x · x = 0 für alle x ∈ A. Dann haben wir (x · x) · y = 0 für alle x, y ∈ A, also sind antikommutative Algebren linksquadratisch mit trivialer Normform und trivialer Spurform, insbesondere ist das für Lie-Algebren der Fall, das heißt für antikommutative Algebren mit der Jacobi-Identität

x · (y · z) + y · (z · x) + z · (x · y) = 0.

4.4 Notiz (Linearisierte charakteristische Gleichung) In jeder linksquadratischen Algebra Q gilt die linearisierte charakteristische Gleichung

(LQ′) (w·x+x·w)·y = t(w) x·y+t(x) w·y−Dn(w, x) y für alle w, x, y ∈ Q.

Für 2-torsionsfreie Algebren ist (LQ′) äquivalent zu (LQ).

[ Setzen wir w + x für x in (LQ) ein, so ergibt sich (w^{2}·y−t(w) w·y+n(w) y)+(w·x+x·w)·y−t(w) x·y−t(x) w·y+Dn(w, x) y+ (x^{2} ·y −t(x) x·y +n(x) y) = (w +x)^{2} ·y −t(w +x) (w +x)·y +n(w +x) y = 0. Umgekehrt setze w = x in (LQ′) ein und kürze 2, um (LQ) zu erhalten. ]

§4 Linksquadratische Algebren

4.5 Proposition (Eindeutigkeit von Normform und Spurform) Sei R ein kommutativer Ring und Q eine linksquadratische Algebra über R.

Besitzt Q als R-Modul ein Erzeugendensystem E mit der Eigenschaft, dass L_{x}, Id stets linear unabhängig ist (x ∈ E), so sind Normform und Spurform von Q eindeutig bestimmt.

Beweis: Seien n und n′ Normformen sowie t und t′ Spurformen von Q. Wegen t′(x) L_{x} − n′(x) Id = L_{x^{2}} = t(x) L_{x} − n(x) Id gilt

(∗∗) (t′(x) − t(x))L_{x} = (n′(x) − n(x)) Id für alle x ∈ Q,

also t′(x) − t(x) = n′(x) − n(x) = 0 für alle x ∈ E, das heißt n = n′ und t = t′. □

4.6 Hinweis (Verschiedene Normformen und Spurformen) Die linksquadratische Algebra X_{λ} aus 4.3 (1) (2) zeigt, dass in der Regel keine Eindeutigkeit von n und t zu erwarten ist, falls L_{b} ein Vielfaches von Id sein kann.

4.7 Zusatz (Eindeutigkeit über Körpern) Sei F ein Körper und Q eine linksquadratische Algebra mit Normform n und Spurform t.

Dann sind n und t eindeutig bestimmt, sofern es ein q ∈ Q gibt, für das die Linksmultiplikation kein Vielfaches der Identität ist, also L_{q} ∉ F Id.

[ Wegen (∗∗) aus dem Beweis von 4.5 haben wir Q = U_{1} ∪ U_{2} mit den Untervektorräumen U_{1} := Kern(t − t′), U_{2} := { x ∈ Q | L_{x} ∈ F Id }. Da nach Voraussetzung U_{2} ≠ Q gilt, folgt U_{1} = Q, das heißt t′ = t, also auch n′ = n nach (∗∗). ]

4.8 Bezeichnung (Linkskonjugierte Algebra) Sei R ein kommutativer Ring und Q sei eine linksquadratische Algebra über R mit Normform n und Spurform t.

Mit Q_{∗} bezeichnen wir Q versehen mit der durch

x ∗ y := t(x) y − x · y für alle x, y ∈ Q

definierten neuen R-Algebrenstruktur. Die R-Algebra Q_{∗} bezeichnen wir als linkskonjugierte Algebra zu Q und ihre Multiplikation ∗ als linkskonjugierte Multiplikation.

In einer quadratischen Algebra Q hat die linkskonjugierte Multiplikation die Form x ∗ y = τ(x) · y mit τ(x) = \overline{x} = t(x) 1_{Q} − x (x, y ∈ Q).

4.9 Linkskonjugierte Algebren haben triviale Spur

4.9 Bemerkung (Linkskonjugierte Algebren haben triviale Spur) Die linkskonjugierte Algebra Q_{∗} einer linksquadratischen Algebra Q ist eine linksquadratische Algebra mit trivialer Spurform, vgl. 4.3 (2) denn es gilt für alle x, y ∈ Q

(x ∗ x) ∗ y = t(x ∗ x) y − (x ∗ x) · y
= t(x ∗ x) y − t(x) x · y + (x · x) · y
= (t(x ∗ x) − n(x)) y  nach (LQ).

Zusammenfassung (Linksquadratische Algebren)

Die Klasse der hier eingeführten linksquadratischen Algebren umfasst die Klasse der quadratischen Algebren echt. Sie stellt ein Bindeglied zur Klasse der ab dem nächsten Abschnitt untersuchten semiquadratischen Algebren dar: Für jede linksquadratische Algebra Q ist die linkskonjugierte Algebra Q_{∗} (vgl. 4.8) eine semiquadratische Algebra.

5 Semiquadratische Algebren

Jetzt führen wir semiquadratische Algebren ein, das sind nicht-assoziative Algebren, in denen die beiden unten stehenden Identitäten linkskonjugierter Algebren von (links-)quadratischen Algebren erfüllt sind.

5.1 Motivation (Semiquadratische Identitäten)

Sei R ein kommutativer Ring und Q eine linksquadratische Algebra über R mit Normform n und Spurform t.

Definieren wir eine neue Multiplikation durch x ∗ y := t(x) y − x · y für alle x, y ∈ Q (linkskonjugierte Multiplikation, vgl. 4.8), so gelten folgende Identitäten (x, y, z ∈ Q):

(x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = ((x ∗ x) ∗ y) ∗ z = y ∗ ((x ∗ x) ∗ z).

[ Nach 4.9 haben wir (x ∗ x) ∗ y = g(x) y mit g(x) := t(x ∗ x) − n(x) ∈ R. ]

5.2 Definition (Semiquadratische Algebren)

Sei R ein kommutativer Ring.

Eine R-Algebra A mit Multiplikation ∗ bezeichnen wir als (linksseitig) semiquadratische Algebra, wenn folgende Identitäten gelten (x, y, z ∈ A):

(SQ1) (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = ((x ∗ x) ∗ y) ∗ z,

(SQ2) (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = y ∗ ((x ∗ x) ∗ z).

5.3 Beobachtungen (Semiquadratische Algebren)

(1) Teilalgebren semiquadratischer Algebren und Bilder von semiquadratischen Algebren unter Algebren-Homomorphismen sind ebenfalls semiquadratische Algebren.

(2) Auch die direkte Algebren-Summe Q_{1} ⊞ Q_{2} zweier semiquadratischer Algebren Q_{1}, Q_{2} ist eine semiquadratische Algebra.

5.4 Linearisierte semiquadratische Identitäten

5.4 Notiz (Linearisierte semiquadratische Identitäten) In jeder semiquadratischen Algebra A gilt für alle w, x, y, z ∈ A

(SQ1′) (w ∗ x + x ∗ w) ∗ (y ∗ z) = ((w ∗ x + x ∗ w) ∗ y) ∗ z,

(SQ2′) (w ∗ x + x ∗ w) ∗ (y ∗ z) = y ∗ ((w ∗ x + x ∗ w) ∗ z).

Für 2-torsionsfreie Algebren sind (SQ1′) und (SQ2′) zu (SQ1) bzw. (SQ2) äquivalent .

[ Setzen wir w + x für x in (SQ1) ein, so ergibt sich

\begin{matrix}(w ∗ w) ∗ (y ∗ z) + (w ∗ x + x ∗ w) ∗ (y ∗ z) + (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) \\ = ((w ∗ w) ∗ y) ∗ z + ((w ∗ x ∗ x ∗ w) ∗ y) ∗ z + ((x ∗ x) ∗ y) ∗ z. \end{matrix}

Umgekehrt setze w = x in (SQ1′) ein und kürze 2, um (SQ1) zu erhalten. Entsprechend ergibt sich die Äquivalenz von (SQ2′) und (SQ2). ]

5.5 Beispiele (Verschiedenartige semiquadratische Algebren)

(1) Ist Q eine linksquadratische Algebra und Q_{∗} die Algebra mit der neuen Multiplikation x ∗ y := t(x) y − x · y für alle x, y ∈ Q (die linkskonjugierte Algebra zu Q, vgl. 4.8), so ist Q_{∗} nach 5.1 eine semiquadratische Algebra.

Insbesondere ergibt sich aus jeder quadratischen Algebra Q eine semiquadratische Algebra Q_{∗} mit x ∗ y = \overline{x} · y, \overline{x} = t(x) 1_{Q} − x (x, y ∈ Q).

(2) In assoziativen Algebren ist (SQ1) automatisch erfüllt, und (SQ2) ist dort äquivalent zu der Identität [x ∗ x, y] ∗ z = 0. Demnach sind kommutativ-assoziative Algebren auch semiquadratische Algebren.

Umgekehrt folgt für 2-torsionsfreie semiquadratische Algebren mit Einselement Assoziativität aus (SQ1′) und Kommutativität aus (SQ2′). (Setze w = 1_{A} in (SQ1′) sowie w = z = 1_{A} in (SQ2′).)

(3) Ist A eine antikommutative Algebra mit Multiplikation ∗, das heißt ist x∗x = 0 für alle x ∈ A erfüllt, so gelten trivialerweise (SQ1) und (SQ2). Alle antikommutativen Algebren, insbesondere also alle Lie-Algebren, sind daher semiquadratische Algebren.

5.6 Konvention (Klammereinsparung) In einer semiquadratischen Algebra A ist es nach (SQ1) ohne Belang, auf welche Weise wir ein Produkt aus drei Faktoren klammern, wenn der erste Faktor ein Quadrat x ∗ x ist. Derartige Produkte dürfen wir daher einfach in der Form (x ∗ x) ∗ y ∗ z schreiben.

§5 Semiquadratische Algebren

5.7 Feststellung (Verallgemeinerte semiquadratische Identitäten) In einer semiquadratischen Algebra A gilt für alle x_{1}, …, x_{k}, y, z ∈ A, k ≧ 1

\begin{aligned}(x_{1} ∗ x_{1}) ∗ ⋯ ∗ (x_{k} ∗ x_{k}) ∗ (y ∗ z) & = & ((x_{1} ∗ x_{1}) ∗ ⋯ ∗ (x_{k} ∗ x_{k}) ∗ y) ∗ z) \\ & = & y ∗ ((x_{1} ∗ x_{1}) ∗ ⋯ ∗ (x_{k} ∗ x_{k}) ∗ z). \end{aligned}

(Beachte die Konvention 5.6 zur Klammereinsparung.)

Beweis: Vollständige Induktion nach k:

Für k = 1 handelt es sich gerade um (SQ1) und (SQ2).

Zum Nachweis der Identitäten für k + 1 seien x_{1}, …, x_{k}, x_{k+1} ∈ A. Dann gilt

((x_{1} ∗ x_{1}) ∗ ⋯ ∗ (x_{k} ∗ x_{k}) ∗ (x_{k+1} ∗ x_{k+1})) ∗ (y ∗ z)

= (x_{1} ∗ x_{1}) ∗ ⋯ ∗ (x_{k} ∗ x_{k}) ∗ ((x_{k+1} ∗ x_{k+1}) ∗ (y ∗ z)) [Ind. Ann.]
= (x_{1} ∗ x_{1}) ∗ ⋯ ∗ (x_{k} ∗ x_{k}) ∗ (((x_{k+1} ∗ x_{k+1}) ∗ y) ∗ z) [(SQ1)]
= ((x_{1} ∗ x_{1}) ∗ ⋯ ∗ (x_{k} ∗ x_{k}) ∗ (x_{k+1} ∗ x_{k+1}) ∗ y) ∗ z  [Ind. Ann.]

und

((x_{1} ∗ x_{1}) ∗ ⋯ ∗ (x_{k} ∗ x_{k}) ∗ (x_{k+1} ∗ x_{k+1})) ∗ (y ∗ z)

= (x_{1} ∗ x_{1}) ∗ ⋯ ∗ (x_{k} ∗ x_{k}) ∗ ((x_{k+1} ∗ x_{k+1}) ∗ (y ∗ z)) [Ind. Ann.]
= (x_{1} ∗ x_{1}) ∗ ⋯ ∗ (x_{k} ∗ x_{k}) ∗ (y ∗ ((x_{k+1} ∗ x_{k+1}) ∗ z)) [(SQ2)]
= y ∗ ((x_{1} ∗ x_{1}) ∗ ⋯ ∗ (x_{k} ∗ x_{k}) ∗ (x_{k+1} ∗ x_{k+1}) ∗ z)  [Ind. Ann.]

für alle y, z ∈ A. □

5.8 Sprechweise (Semiquadratisch mit quadratischer Form) Sei R ein kommutativer Ring.

Von einer semiquadratischen Algebra mit quadratischer Form sprechen wir, wenn eine R-Algebra A mit einer quadratischen Form g : A ⟶ R versehen ist, derart dass gilt

(SQF) (x ∗ x) ∗ y = g(x) y für alle x, y ∈ A.

In diesem Fall ist A natürlich eine semiquadratische Algebra.

5.9 Linksquadratische und semiquadratische Algebren

5.9 Hinweis (Linksquadratische und semiquadratische Algebren) Zu jeder linksquadratischen Algebra Q haben wir die mit der Multiplikation x ∗ y = t(x) y − x · y versehene linkskonjugierte Algebra Q_{∗}, eine semiquadratischen Algebra mit quadratischer Form g(x) = t(x ∗ x) − n(x) (siehe 5.1).

Ist andererseits A eine semiquadratische Algebra mit quadratischer Form g : A ⟶ R und λ : A ⟶ R eine Linearform, so definiert

x_{λ}· y := λ(x) y − x ∗ y für alle x, y ∈ A

eine R-Algebrenstruktur. Die so erhaltene Algebra A_{λ} ist linksquadratisch mit Spurform t = λ und Norm n(x) = λ(x ∗ x) − g(x) für alle x ∈ A.

[ Es gilt (x_{λ}· x)_{λ}· y = λ(x) x_{λ}· y − λ(x ∗ x) y + (x ∗ x) ∗ y für alle x, y ∈ A . ]

Die semiquadratischen Algebren mit quadratischer Form sind also gerade die linksquadratischen Algebren mit trivialer Spurform (vgl. 4.3 (2)), und die linksquadratischen Algebren sind gerade die semiquadratischen Algebren mit quadratischer Form, bei denen eine beliebige Linearform als Spurform vorgegeben wird.

Zusammenfassung (Semiquadratische Algebren)

In diesem Abschnitt wurden die semiquadratischen Algebren definiert als nicht-assoziative Algebren, in denen die Identitäten (SQ1) und (SQ2) gelten. Es wurde deutlich, dass sich in semiquadratischen Algebren die Linksmultiplikation mit Quadraten und ebenso mit aus Quadraten zusammengesetzten Elementen wie eine skalare Vervielfachung zu verhalten scheint. Dieses Phänomen werden wir im nächsten Abschnitt genauer untersuchen.

6 Der quadratische Kern

In diesem Abschnitt werden der quadratische Kern einer semiquadratischen Algebra und der sich daraus durch Adjunktion eines Einselementes ergebende (semiquadratische) Multiplikationsring eingeführt.

6.1 Definition (Quadratischer Kern) Sei R ein kommutativer Ring und A eine semiquadratische R-Algebra.

Dann erzeugen die Quadrate a ∗ a mit a ∈ A eine Teilalgebra

Sq(A) := Lin_{R}({ (a_{1} ∗a_{1})∗⋯∗(a_{k} ∗a_{k}) | a_{1}, …, a_{k} ∈ A, k ≧ 1 }),

den quadratischen Kern von A. (Beachte Konvention 5.6 zur Klammereinsparung.)

6.2 Beobachtung (Symmetrisches Produkt im quadratischen Kern) Es gilt x ∗ y + y ∗ x = (x + y) ∗ (x + y) − x ∗ x − y ∗ y, also

x ∗ y + y ∗ x ∈ Sq(A) für alle x, y ∈ A.

6.3 Notiz (Allgemeine semiquadratische Identitäten) Sei R ein kommutativer Ring und A eine semiquadratische R-Algebra.

Dann gelten für alle s ∈ Sq(A) und alle y, z ∈ A die Identitäten

(SQ) s ∗ (y ∗ z) = (s ∗ y) ∗ z = y ∗ (s ∗ z),

(SQL) L_{s} L_{y} = L_{s∗y} = L_{y} L_{s},

(SQR) L_{s} R_{z} = R_{z} L_{s} = R_{s∗z},

insbesondere ist Sq(A) eine assoziative R-Algebra.

Dabei bezeichnet L_{a} die Linksmultiplikation mit a ∈ A (L_{a} x := a ∗ x) und R_{b} bezeichnet die Rechtsmultiplikation mit b ∈ A (R_{b} x := x ∗ b).

[ Es genügt s der Form (a_{1} ∗ a_{1}) ∗ ⋯ ∗ (a_{k} ∗ a_{k}) zu betrachten, um (SQ) zu zeigen, da es sich um lineare Identitäten handelt. Daher liefert 5.7 die Behauptung. (SQL) und (SQR) sind Umformulierungen von (SQ). ]

6.4 Quadratischer Ring

6.4 Bezeichnungen (Quadratischer Ring) Sei R ein kommutativer Ring und A eine semiquadratische R-Algebra.

Die Algebra Sq_{1}(A), die durch Adjunktion eines Einselementes aus Sq(A) entsteht (Dorrohsche Oberalgebra), ist als assoziative R-Algebra mit Einselement insbesondere ein Ring. Wir nennen Sq_{1}(A) den quadratischen Ring von A und haben mit ι_{A} : Sq(A) ⟶ Sq_{1}(A), s ↦ 0_{R} ⊕ s einen injektiven R-Algebren-Homomorphismus.

[ Auf dem R-Modul R ⊕ Sq(A) definieren wir eine R-Algebrenstruktur mit Einselement e := 1_{R} ⊕ 0 durch (r ⊕ s) · (r′ ⊕ s′) = rr′ ⊕ (rs′ + r′s + s ∗ s′) für alle r, r′ ∈ R, s, s′ ∈ Sq(A) (vgl.A.3). ]

6.5 Proposition (Modulstruktur über dem quadratischen Ring) Sei R ein kommutativer Ring und A eine semiquadratische R-Algebra.

(1) Durch (r ⊕ s)x := r x + s ∗ x für alle r ∈ R, s ∈ Sq(A), x ∈ A wird eine Sq_{1}(A)-Linksmodulstruktur auf A definiert, bezüglich der Sq(A) ein Untermodul ist.

(2) Die Multiplikationsabbildung μ_{A} : A × A ⟶ A, μ_{A}(x, y) = x ∗ y ist Sq_{1}(A)-bilinear:

(r ⊕ s) (x ∗ y) = ((r ⊕ s) x) ∗ y
= x ∗ ((r ⊕ s) y)
für alle r ∈ R, s ∈ Sq(A), x, y ∈ A.

(3) Vorfaktoren aus Sq_{1}(A) dürfen vertauscht werden:

(r ⊕ s) (r′ ⊕ s′) x = (r′ ⊕ s′) (r ⊕ s) x
für alle r, r′ ∈ R, s, s′ ∈ Sq(A), x ∈ A.

Beweis:

(1) Die angegebene skalare Multiplikation ist offenbar bilinear, und wir bemerken 1_{Sq_{1}(A)} x = (1_{R} ⊕ 0) x = 1_{R} x + 0 ∗ x = x sowie

r(r′x + s′ ∗ x) + s ∗ (r′x + s′ ∗ x) = rr′x + (rs′ + r′s + s ∗ s′) ∗ x

für alle r, r′ ∈ R, s, s′ ∈ Sq(A), x ∈ A.

(2) Verwende (SQ) aus 6.3.

(3) Beachte s ∗ (s′ ∗ x) =_{(SQ)} s′ ∗ (s ∗ x).

□

§6 Der quadratische Kern

6.6 Notation (Kommutatorideal) Sei R ein kommutativer Ring und A eine R-Algebra.

Dann heißt das durch die Kommutatoren [x, y] (vgl. A.2) erzeugte Ideal K(A) das Kommuatorideal. Es ist das kleinste Ideal I von A, für das die Faktoralgebra A/I kommutativ wird.

6.7 Bemerkungen (Multiplikationsring) Sei R ein kommutativer Ring und A eine semiquadratische R-Algebra.

(1) Für das Kommutatorideal K(Sq_{1}(A)) des quadratischen Ringes Sq_{1}(A) haben wir K(Sq_{1}(A)) = ι_{A}[K(Sq(A))] mit dem Einbettungshomomorphismus ι_{A} : Sq(A) ⟶ Sq_{1}(A), ι_{A}(s) = 0_{R} ⊕ s aus 6.4.

(2) Die Abbildung γ_{A} : Sq_{1}(A) ⟶ End_{R}(A) mit γ_{A}(r ⊕ s) := r Id +L_{s} für alle r ∈ R, s ∈ Sq(A) ist ein R-Algebren-Homomorphismus.

(Für die in 6.5 eingeführte Sq_{1}(A)-Modulstruktur auf A ist γ_{A}(r ⊕ s) die skalare Vervielfachung mit r ⊕ s.)

(3) Wegen (1) und (SQL) enthält der Kern von γ_{A} das Kommutatorideal, K(Sq_{1}(A)) ⊆ Kern γ_{A}, daher ist das Bild von γ_{A} eine kommutativassoziative R-Algebra mit Id als Einselement.

Wir nennen S_{1}(A) := γ_{A}[Sq_{1}(A)] den (linksseitig semiquadratischen) Multiplikationsring von A.

(4) Der quadratische Kern Sq(A) ist eine Teilalgebra der S_{1}(A)-Algebra A.

(Die skalare Vervielfachung ist gegeben durch (r Id +L_{s}) x = r x + s ∗ x für alle r ∈ R, s ∈ Sq(A), x ∈ A).

(5) Hat A ein Linkseinselement e, so liefert die Zuordnung s ↦ L_{s} einen surjektiven S_{1}(A)-Algebren-Homomorphismus Sq(A) ⟶ S_{1}(A).

Ist A = Q_{∗} die linkskonjugierte Algebra einer quadratischen Algebra Q mit kanonischer Konjugation τ, so erhalten wir einen S_{1}(A)-Algebren-Isomorphismus Sq(Q_{∗}) ≅ S_{1}(Q_{∗}), s ↔ L_{s}.

[ Wir haben L_{s} = γ_{A}(ι_{A}(s)), also handelt es sich um einen Homomorphismus. Dieser ist wegen L_{e} = Id surjektiv, und im Falle A = Q_{∗} injektiv, denn aus L_{s} = O folgt τ(s) = L_{s}1_{Q} = 0, also s = 0. ]

6.8 Operation des quadratischen Kerns

(6) Wegen 6.3 (SQL), (SQR) ist der Multiplikationsring S_{1}(A) eine Teilalgebra des Zentroids von A (cf. [Ja62], p. 290)

Γ(A) := { γ ∈ End_{R}(A) | γ L_{a} = L_{a} γ, γ R_{b} = R_{b} γ für alle a, b ∈ A }.

Ein γ ∈ End_{R}(A) liegt also genau dann in Γ(A), wenn für alle a, b ∈ A gilt γ(a ∗ b) = a ∗ γ(b) = γ(a) ∗ b.

(7) Das (linksseitig semiquadratische) Multiplikationsideal

\begin{aligned}S(A) & := & γ_{A}[ι_{A}[Sq(A)]] \\ & = & \{ L_{s} | s ∈ Sq(A) \} \end{aligned}

ist als Ideal in S_{1}(A) eine kommutativ-assoziative S_{1}(A)-Algebra.

(8) Im Falle \frac{1}{2} ∈ R gilt sogar S(A) ◁ Γ(A), denn für alle γ ∈ Γ(A), s ∈ Sq(A), x ∈ A haben wir γ L_{s}(x) = γ(s ∗ x) = γ(s) ∗ x = L_{γ(s)} x und γ(s) ∈ γ[Sq(A)] ⊆ Sq(A), da γ(a ∗ a) = \frac{1}{2}(γ(a) ∗ a + a ∗ γ(a)) ∈ Sq(A) für jedes a ∈ A gilt (vgl. 6.2).

6.8 Schreibweise (Operation des quadratischen Kerns) Sei R ein kommutativer Ring und A eine semiquadratische R-Algebra und Z ein S_{1}(A)-Modul.

Für s ∈ Sq(A) und z ∈ Z werden wir meist kurz s z schreiben statt γ_{A}(0_{R} ⊕ s) z oder γ_{A}(ι_{A}(s)) z. Beispielsweise gilt für Z = A mit dieser Schreibweise s a = s ∗ a (a ∈ A),

nach (SQ) haben wir also \begin{aligned}s (x ∗ y) & = & (s x) ∗ y & = & x ∗ (s y), \\ s s′ x & = & s′ s x \end{aligned}

für alle s, s′ ∈ Sq(A), x, y ∈ A.

6.9 Feststellung (Semiquadratische und linksquadratische Algebren) Sei R ein kommutativer Ring und A eine semiquadratische R-Algebra sowie s ∈ Sq(A).

Setzen wir x ·_{s} y := (x ∗ s) ∗ y für alle x, y ∈ A, so erhalten wir eine Algebrenstruktur, mit der A zu einer linksquadratischen S_{1}(A)-Algebra wird. Dabei sind Normform n_{s} und Spurform t_{s} gegeben durch

n_{s}(x) := γ_{A}(0 ⊕ (x ∗ x) ∗ (s ∗ s)) = L_{(x∗x)∗(s∗s)}
t_{s}(x) := γ_{A}(0 ⊕ (s ∗ x + x ∗ s)) = L_{s∗x+x∗s} für alle x ∈ A,

denn \begin{aligned}(x ·_{s} x) ·_{s} y & = & (((x ∗ s) ∗ x) ∗ s) ∗ y \\ & = & (s ∗ x + x ∗ s) ∗ (x ∗ s) ∗ y − (((s ∗ x) ∗ x) ∗ s) ∗ y \\ & = & t_{s}(x) x ·_{s} y − n_{s}(x) y. \end{aligned}

Zusammenfassung (Der quadratische Kern)

Mit dem quadratischen Kern Sq(A) und dem (semiquadratischen) Multiplikationsring S_{1}(A) zu einer semiquadratischen Algebra A haben wir für die weiteren Untersuchungen unverzichtbare Hilfsmittel gewonnen.

Die Theorie der semiquadratischen Algebren wird deshalb nicht trivial, weil dort die Rechtsmultiplikationen nicht so starken Einschränkungen unterliegen wie die Linksmultiplikationen.

7 Potenzen

7.1 Vereinbarung (Potenzen) Sei R ein kommutativer Ring und A eine (semiquadratische) R-Algebra mit Multiplikation ∗.

Die Potenzen eines Elementes a ∈ A definieren wir rekursiv durch

a^{1} := a und a^{k+1} := a^{k} ∗ a für alle k ≧ 1, so dass a^{k} = R_{a}^{k−1} a für alle k ≧ 1 gilt.

7.2 Beobachtung (Gerade und ungerade Potenzen) In semiquadratischen Algebren gilt für k ≧ 1 und a ∈ A

(1) a^{2k} = (a ∗ a)^{k} ∈ Sq(A),

(2) a^{2k+1} = (a ∗ a)^{k} a ∈ Sq(A) ∗ a. Wir können uns hier der in 6.8 eingeführten Schreibweise bedienen, s a für s ∈ Sq(A), a ∈ A, weil A eine S_{1}(A)-Algebra ist, vgl. 6.7 (4). [ Vollständige Induktion nach k beweist (1), und (2) folgt aus (1). ]

7.3 Folgerung (Rechenregeln für Potenzen) In semiquadratischen Algebren gelten folgende Potenzgesetze:

(1) a^{2j} ∗ a^{k} = a^{2j+k},

(2) a^{2j+1} ∗ a^{2k+1} = a^{2j+2k+2},

(3) (s a)^{k} = s^{k} a^{k}

(4) (a^{j})^{k} = a^{jk} für alle j, k ≧ 1, a ∈ A, s ∈ Sq(A). Insbesondere ist die von einem Quadrat a^{2} mit a ∈ A erzeugte Teilalgebra von A (vgl. A.6) kommutativ-assoziativ:

Env(a^{2}) = Lin_{R}({ a^{2j} | j ≧ 1 }).

§7 Potenzen

Beweis:

(1) Die Behauptung folgt für gerades k sofort aus 7.2 und der Assoziativität von Sq(A), für ungerades k wird dabei (SQ) benutzt.

(2) folgt mit (SQ) und (1) aus 7.2 (2).

(3) kann mit (SQ) durch vollständige Induktion nach k gezeigt werden.

(4) Weil Sq(A) assoziativ ist, gilt die Behauptung, falls j gerade ist oder a ∈ Sq(A). Ferner zeigt sich

(a^{2j+1})^{k} = ((a ∗ a)^{j} a)^{k} =_{(3)} ((a ∗ a)^{j})^{k} a^{k} = a^{2jk} a^{k} =_{(1)} a^{2jk+k}.

□

7.4 Hinweis (Keine Potenzassoziativität) Ist A = Q_{∗} die linkskonjugierte Algebra einer quadratischen Algebra Q mit \overline{1} = 1 (vgl. 5.5 (1)), so gilt x^{2j} = n(x)^{j} 1_{Q} und x^{2j+1} = n(x)^{j} x für alle j ≧ 1, x ∈ Q, also x^{2j+1} ∗ x^{2k} = n(x)^{j+k} \overline{x}, was in der Regel ungleich x^{2j+2k+1} ist.

Folglich ist in semiquadratischen Algebren im Allgemeinen keine Potenzassoziativität gegeben (vgl. 2.2 (1)).

7.5 Sprechweise (Nilpotenz) Sei R ein kommutativer Ring und A eine (semiquadratische) R-Algebra.

Ein Element a ∈ A heißt nilpotent, wenn es ein k ≧ 1 gibt mit a^{k} = 0. Als Nilpotenzgrad von a wird die kleinste natürliche Zahl k ≧ 1 mit a^{k} = 0 bezeichnet, falls eine solches k existiert. Gilt a^{k} ≠ 0 für alle k ≧ 1, so sagen wir, a habe den Nilpotenzgrad ∞.

7.6 Notiz (Nilpotenz im quadratischen Kern) Ein Element s des quadratischen Kerns Sq(A) ist genau dann nilpotent, wenn die Linksmultiplikation L_{s} nilpotent in der kommutativ-assoziativen Algebra S_{1}(A) ⊂ End_{R}(A) ist (semiquadratischer Multiplikationsring, vgl. 6.7 (2).

[ Aus s^{k} = 0 folgt L_{s}^{k} x = L_{s^{k}} x = 0 für alle x ∈ A, umgekehrt ergibt sich s^{k+1} = L_{s}^{k} s = 0, wenn L_{s}^{k} x = 0 für alle x ∈ A gilt. (Sq(A) ist assoziativ.) ]

7.7 Charakterisierung nilpotenter Elemente

7.7 Proposition (Charakterisierung nilpotenter Elemente) Sei R ein kommutativer Ring und A eine semiquadratische R-Algebra.

Dann sind für ein Element a ∈ A folgende Aussagen äquivalent:

(a) a ist nilpotent in der semiquadratischen Algebra A.

(b) a ∗ a ist nilpotent in der assoziativen Algebra Sq(A).

(c) L_{a∗a} ist nilpotent in der kommutativ-assoziativen Algebra S_{1}(A).

(Hierbei ist S_{1}(A) der reduzierte quadratische Ring, vgl. 6.7 (2).)

Beweis:

(a) ⇔ (b) folgt aus (a ∗ a)^{k} = a^{2k}, weil a ∈ A genau dann nilpotent ist, wenn eine gerade Potenz verschwindet, es also k ≧ 1 gibt mit a^{2k} = 0.

(b) ⇔ (c) gilt nach 7.6. □

7.8 Satz (Existenz idempotenter Elemente) Sei F ein Körper und S eine endlich-dimensionale assoziative F -Algebra.

Enthält S ein Element s mit Nilpotenzgrad ∞ (das heißt mit s^{k} ≠ 0 für alle k ≧ 1), so gibt es in S ein von Null verschiedenes idempotentes Element, also ein c ∈ A mit c · c = c ≠ 0.

[ Albert formulierte diesen Satz in [Al61] (Chap. II Thm. 8, p. 23) Ein Beweis findet sich auch bei Braun,Koecher in [BrKoe66] (Kap. I § 3, Lem. 3.2 S. 13.) Schafer formuliert den Satz in [Scha66] (Prop. 3.3, p. 32) für potenzassoziative Algebren. ]

7.9 Korollar (Idempotente für semiquadratische Algebren) Sei F ein Körper und A eine semiquadratische F -Algebra, deren quadratischer Kern Sq(A) endlich-dimensional ist.

Wenn A ein Element mit Nilpotenzgrad ∞ enthält, dann existiert ein von Null verschiedenes idempotentes Element c ∗ c = c ∈ A.

Beweis: Für ein derartiges Element a ∈ A hat auch s := a ∗ a in S := Sq(A) den Nilpotenzgrad ∞. Wende nun Satz 7.8 an. □

Zusammenfassung (Potenzen)

Die mit Hilfe der Rechtsmultiplikationen definierten Potenzen (Linksklammerung) haben angenehme Eigenschaften. (Für die entgegengesetzte Bildung mit Hilfe der Linksmultiplikationen ist das nicht so.) Der bekannte Satz von Albert (cf. [Al61] Ch. II.6, Thm. 8, p. 23) gilt daher auch für semiquadratische Algebren. Er besagt, dass (im endlich-dimensionalen Fall) die Existenz nichttrivialer Idempotente c^{2} = c ∈ A gewährleistet ist, sofern es nicht-nilpotente Elemente gibt.

Zu einem Idempotent c werden wir in den nächsten Abschnitten die Peirce-Zerlegung in die Eigenräume von L_{c} und R_{c} betrachten.

8 Die Peirce-Zerlegung

In diesem Abschnitt bestimmen wir zu einem Idempotent c einer semiquadratischen Algebra Q die Peirce-Zerlegung, also die Zerlegung in die Eigenräume der Links- und Rechtsmultiplikation L_{c} bzw. R_{c}.

Da sich solche Peirce-Zerlegungen auch für viele andere Arten nichtassoziativer Algebren als nützlich erwiesen hat, so etwa für Jordan-Algebren, alternative Algebren und Petersson-Algebren ([BrKoe66], [Ja68], [Scha66], [Pe69]), wollen wir auch hier bei semiquadratischen Algebren von der Peirce-Zerlegung sprechen.

8.1 Proposition (Links-/Rechtsmultiplikation mit Idempotent) Sei R ein kommutativer Ring und A eine R-Algebra, die (SQ1) aus 5.2 erfüllt. Ferner sei das Element c ∈ A idempotent, also c ∗ c = c.

Dann gilt

(1) c ∗ (c ∗ z) = c ∗ z für alle z ∈ A, d. h. L_{c}^{2} = L_{c};

(2) c ∗ (y ∗ c) = (c ∗ y) ∗ c für alle y ∈ A, d. h. L_{c} R_{c} = R_{c} L_{c};

(3) (c ∗ x + x ∗ c) ∗ c = ((c ∗ x + x ∗ c) ∗ c) ∗ c für alle x ∈ A, d. h. R_{c} (L_{c} + R_{c}) = R_{c}^{2} (L_{c} + R_{c});

(4) (((x ∗ c) ∗ c) ∗ c) ∗ c = (x ∗ c) ∗ c für alle x ∈ A, d. h. R_{c}^{4} = R_{c}^{2}.

Dabei bezeichnen L_{c}, R_{c} ∈ End_{R}(A) die durch L_{c} x := c ∗ x, R_{c} x := x ∗ c definierte Linksmultiplikation beziehungsweise Rechtsmultiplikation mit c.

Beweis:

(1) folgt aus (SQ1) mit x = y = c:

c ∗ (c ∗ z) = (c ∗ c) ∗ (c ∗ z) = ((c ∗ c) ∗ c) ∗ z = c ∗ z.

(2) folgt aus (SQ1) mit x = z = c:

c ∗ (y ∗ c) = (c ∗ c) ∗ (y ∗ c) = ((c ∗ c) ∗ y) ∗ c = (c ∗ y) ∗ c.

(3) folgt aus (SQ1′) mit w = y = z = c:

\begin{aligned}(c ∗ x + x ∗ c) ∗ c & = & (c ∗ x + x ∗ c) ∗ (c ∗ c) \\ & = & ((c ∗ x + x ∗ c) ∗ c) ∗ c. \end{aligned}

§8 Die Peirce-Zerlegung

(4): Aus (3) folgt (◇) R_{c}^{3} − R_{c}^{2} = (R_{c} − R_{c}^{2}) L_{c},

also gilt R_{c}^{4} − R_{c}^{3} = R_{c} (R_{c}^{3} − R_{c}^{2}) =_{(◇)} R_{c} (R_{c} − R_{c}^{2}) L_{c} = −(R_{c}^{3} − R_{c}^{2}) L_{c} =_{(◇)} −(R_{c} − R_{c}^{2}) L_{c}^{2} =_{(1)} −(R_{c} − R_{c}^{2}) L_{c} =_{(◇)} −(R_{c}^{3} − R_{c}^{2}) = R_{c}^{2} − R_{c}^{3}. □

8.2 Erinnerung (Direkte Summen-Zerlegung von Moduln) Es besteht eine bijektive Beziehung zwischen direkten Summen-Zerlegungen X = X_{1} ⊕ ⋯ ⊕ X_{m} eines R-Moduls X und Projektionen P_{1}, …, P_{m}, also idempotenten Elementen von End_{R}(X), mit P_{1} + ⋯ + P_{m} = Id, P_{j} P_{k} = O für j ≠ k, 1 ≦ j, k ≦ m, m ∈ ℕ, siehe etwa Satz 39.9 in [LehrbAlg1]. (Dabei bezeichnet Oden Nullendomorphismus mit O x := 0 für alle x ∈ A.)

8.3 Folgerung (Links- und rechtsseitige Zerlegung) Sei R ein kommutativer Ring und A eine R-Algebra, die (SQ1) aus 5.2 erfüllt, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element.

Dann gilt A = A_{1}(c) ⊕ A_{0}(c) als direkte Summe der R-Rechtsideale A_{1}(c) := { x ∈ A | c ∗ x = x } , A_{0}(c) := { x ∈ A | c ∗ x = 0 } .

mit zugehörigen Projektionen P_{1}(c) := L_{c}, P_{0}(c) := Id −L_{c}.

[ Weil c∗(a_{j} ∗a) = (c∗c)∗(a_{j} ∗a) =_{(SQ1)} ((c∗c)∗a_{j})∗a = j a_{j} ∗a für a_{j} ∈ A_{j}(c),

a ∈ A gilt, handelt es sich bei den A_{j}(c) um Rechtsideale (j ∈ {1, 0}). ] Außerdem gilt A = A^{1}(c) ⊕ A^{0}(c) als direkte Summe der R-Untermoduln

A^{1}(c) := { x ∈ A | (x ∗ c) ∗ c = x } ,

A^{0}(c) := { x ∈ A | (x ∗ c) ∗ c = 0 } .

mit zugehörigen Projektionen P^{1}(c) := R_{c}^{2}, P^{0}(c) := Id −R_{c}^{2}.

8.4 Notiz (Rechtsmultiplikation auf Linkskomponenten) Es gilt R_{c}^{3} x_{1} = R_{c} x_{1} und R_{c}^{3} x_{0} = R_{c}^{2} x_{0} für alle x_{1} ∈ A_{1}(c), x_{0} ∈ A_{0}(c). [ Wende (◇) aus dem Beweis von Proposition 8.1 auf x_{1} bzw. auf x_{0} an. ]

8.5 Verfeinerte rechtsseitige Zerlegung

8.5 Hinweis (Verfeinerte rechtsseitige Zerlegung)

Im Falle \frac{1}{2} ∈ R haben wir die Zerlegung A^{1}(c) = A^{+}(c) ⊕ A^{−}(c) mit

A^{+}(c) := { x ∈ A^{1}(c) | x ∗ c = x } ,
A^{−}(c) := { x ∈ A^{1}(c) | x ∗ c = −x },

also A = A^{+}(c)⊕A^{−}(c)⊕A^{0}(c) als direkte Summe von R-Untermoduln, mit P^{+}(c) := \frac{1}{2}(R_{c}^{2} +R_{c}^{3}), P^{−}(c) := \frac{1}{2}(R_{c}^{2} −R_{c}^{3}), P^{0}(c) = Id −R_{c}^{2} als zugehörigen Projektionen.

[ Mit X = A^{1}(c) und Ψ : A^{1}(c) ⟶ A^{1}(c), x ↦ x ∗ c liefert 3.7 die erste Zerlegung. Aus 8.1 (4) folgt R_{c}^{2} P^{±}(c) = P^{±}(c), R_{c}^{3} P^{±}(c) = ±P^{±}(c), also

P^{σ}(c) P^{σ′}(c) = \begin{cases}P^{σ}(c) & für σ = σ′ \\ O & für σ ≠ σ′ \end{cases} (σ, σ′ ∈ \{+, −, 0\}). ]

8.6 Beobachtung (Zweiseitige Zerlegung)

Sei R ein kommutativer Ring und A eine R-Algebra, die (SQ1) aus 5.2 erfüllt, sowie c ∗ c = c ∈ A idempotent.

(1) Dann gilt A = A_{1}^{1}(c) ⊕ A_{1}^{0}(c) ⊕ A_{0}^{1}(c) ⊕ A_{0}^{0}(c) als direkte Summe der R-Untermoduln

\begin{aligned}A_{j}^{k}(c) & := & A_{j}(c) ∩ A^{k}(c) für j, k ∈ \{1, 0\} \\ & = & \{ x ∈ A | c ∗ x = j x, (x ∗ c) ∗ c = k x \} \end{aligned}

mit zugehörigen Projektionen P_{j}^{k}(c) := P_{j}(c) P^{k}(c).

(2) Im Falle \frac{1}{2} ∈ R gilt A = A_{1}^{+}(c) ⊕ A_{1}^{−}(c) ⊕ A_{1}^{0}(c) ⊕ A_{0}^{+}(c) ⊕ A_{0}^{−}(c) ⊕ A_{0}^{0}(c) mit den R-Untermoduln

A_{j}^{±}(c) := { x ∈ A_{j}(c) | x ∗ c = ±x } für j ∈ {1, 0}

und zugehörigen Projektionen P_{j}^{±}(c) := \frac{1}{2}(R_{c}^{2} ± R_{c}^{3}) P_{j}(c).

[ Wegen L_{c} R_{c} = R_{c} L_{c}, vgl. 8.1 (2), haben wir P_{j}(c) P^{k}(c) = P^{k}(c) P_{j}(c) und P_{j}(c) P^{σ}(c) = P^{σ}(c) P_{j}(c) für alle j, k ∈ {1, 0}, σ ∈ {+, −, 0}. ] 8.7 Satz (Peirce-Zerlegung semiquadratischer Algebren) Sei R ein kommutativer Ring und A eine semiquadratische R-Algebra, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element.

(1) Dann gilt A = A_{1}(c) ⊞ A_{0}(c) als direkte Summe der S_{1}(A)-Ideale

A_{1}(c) = { x ∈ A | c ∗ x = x },
A_{0}(c) = { x ∈ A | c ∗ x = 0 }
= { x ∈ A | c ∗ x = x ∗ c = 0 }

mit zugehörigen Projektionen P_{1}(c) = L_{c}, P_{0}(c) = Id −L_{c}.

(2) Ferner gilt A = A_{1}^{1}(c) ⊕ A_{1}^{0}(c) ⊕ A_{0}(c) als direkte Summe von S_{1}(A)- Untermoduln mit

A_{1}^{1}(c) = { x ∈ A | c ∗ x = x, (x ∗ c) ∗ c = x },
A_{1}^{0}(c) = { x ∈ A | c ∗ x = x, (x ∗ c) ∗ c = 0 }
= { x ∈ A | c ∗ x = x, x ∗ c = 0 }

und zugehörigen Projektionen P_{1}^{1}(c) = R_{c}^{2}, P_{1}^{0}(c) = L_{c} − R_{c}^{2}.

(3) Im Falle \frac{1}{2} ∈ R haben wir A = A_{1}^{+}(c)⊕A_{1}^{−}(c)⊕A_{1}^{0}(c)⊕A_{0}(c) als direkte Summe von S_{1}(A)-Untermoduln mit

A_{1}^{±}(c) = { x ∈ A | c ∗ x = x, x ∗ c = ±x }

und zugehörigen Projektionen P_{1}^{±}(c) = \frac{1}{2}(R_{c}^{2} ± R_{c}^{3}).

Beweis: Wir verwenden die einseitige Zerlegung aus 8.3 und die zweiseitige Zerlegung aus 8.6.

Nach 8.3 sind die A_{j}(c) Rechtsideale und wegen

c ∗ (x ∗ a_{j}) =_{(SQ2)} x ∗ (c ∗ a_{j}) = j x ∗ a_{j} für alle x ∈ A, a_{j} ∈ A_{j}(c)

auch Linksideale, j ∈ {1, 0}. Für j = 1, a_{1} = c erhalten wir L_{c} R_{c} = R_{c}. Nun ergeben sich die angegebenen Zerlegungen und Projektionen aus 8.3 und 8.6.

(1) Wegen c ∈ A_{1}(c) ist x ∗ c ∈ A_{1}(c) ∩ A_{0}(c) = {0} für alle x ∈ A_{0}(c), also A_{0}(c) = { x ∈ A | c ∗ x = x ∗ c = 0 }.

(2) Wir bemerken A_{1}^{0}(c) = { x ∈ A | c ∗ x = x, x ∗ c = 0 }, denn für alle x ∈ A_{1}^{0}(c) gilt x ∗ c = ((x ∗ c) ∗ c) ∗ c = 0 nach 8.4.

□

8.8 Peirce-Komponenenten des quadratischen Kerns

8.8 Korollar (Peirce-Komponenenten des quadratischen Kerns) Sei R ein kommutativer Ring und A eine semiquadratische R-Algebra, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element.

(1) Es gilt Sq(A) = Sq(A_{1}(c)) ⊞ Sq(A_{0}(c)) als direkte Summe der beiden S_{1}(A)-Ideale Sq(A_{j}(c)) ◁ Sq(A), j ∈ {1, 0}.

(2) Wir haben

Sq(A_{1}(c)) = Sq(A_{1}(c)) ∗ c ⊕ A_{1}^{0}(c)

mit Sq(A_{1}(c)) ∗ c = Sq(A) ∗ c.

(3) Im Falle \frac{1}{2} ∈ R gilt Sq(A_{1}(c)) ∗ c = A_{1}^{+}(c), also

Sq(A_{1}(c)) = A_{1}^{+}(c) ⊕ A_{1}^{0}(c).

Beweis:

(1) Es gilt (x_{1} + x_{0}) ∗ (x′_{1} + x′_{0}) = x_{1} ∗ x′_{1} + x_{0} ∗ x′_{0} für alle x_{j}, x′_{j} ∈ A_{j}(c), j ∈ {1, 0}, daraus ergibt sich Sq(A_{j}(c)) ◁ Sq(A) und die gewünschte Zerlegung von Sq(A).

(2) Für jedes s ∈ Sq(A_{1}(c)) ist s = s ∗ c + (s − s ∗ c) mit s ∗ c ∈ Sq(A_{1}(c)) ∗ c und s − s ∗ c ∈ A_{1}^{0}(c). Die Summe ist direkt, denn Sq(A_{1}(c)) ∗ c ⊆ A_{1}^{1}(c).

Die zweite Behauptung folgt aus (1).

(3) Es ist klar, dass Sq(A_{1}(c)) ∗ c ⊆ A_{1}^{+}(c). Die umgekehrte Inklusion gilt

wegen x = \frac{1}{2}(c ∗ x + x ∗ c) ∗ c für alle x ∈ A_{1}^{+}(c).

□

8.9 Beispiele (Peirce-Zerlegungen) Sei R ein kommutativer Ring.

(1) Für das triviale Idempotent c = 0 einer semiquadratischen R-Algebra A liefert 8.7 die triviale Zerlegung von A in A_{1}(0) = {0} und A_{0}(0) = A. In antikommutativen Algebren ist 0 das einzige idempotente Element.

(2) Ist Q eine quadratische Algebra mit Einselement 1_{Q}, so gilt in der zugehörigen semiquadratischen R-Algebra Q_{∗} (linkskonjugierte Algebra, vgl. 4.8) 1_{Q} ∗ 1_{Q} = \overline{1_{Q}} · 1_{Q} = \overline{1_{Q}}, das heißt 1_{Q} ist genau dann idempotent in Q_{∗}, wenn Q eine kanonische Konjugation hat (vgl. 3.4). Dann ergibt sich

Q_{∗}_{1}(1_{Q}) = Q_{∗}, Q_{∗}_{0}(1_{Q}) = {0}.

Im Falle \frac{1}{2} ∈ R (wegen x ∗ 1_{Q} = \overline{x})

Q_{∗}_{1}^{+}(1_{Q}) = S(Q),  Q_{∗}_{1}^{−}(1_{Q}) = V(Q),  Q_{∗}_{1}^{0}(1_{Q}) = {0},

Die Zerlegung gemäß 8.7 liefert hier also gerade die Zerlegung aus 3.8, und der quadratische Kern von Q_{∗} ist wegen 8.8 (3) gerade der skalare Anteil von Q

Sq(Q_{∗}) = S(Q) = R 1_{Q}.

(3) Für eine kommutativ-assoziative Algebra A mit Multiplikation ∗ finden wir A = A_{1}(c) ⊞ A_{0}(c) mit

\begin{aligned}A_{1}(c) & = & \{ x ∈ A | c ∗ x = x \} & = & c ∗ A, \\ A_{0}(c) & = & \{ x ∈ A | c ∗ x = 0 \} & = & Ann_{A}(c), \end{aligned}

die bekannte Peirce-Zerlegung kommutativ-assoziativer Algebren.

(Dabei ist Ann_{A}(c) = { a ∈ A | a ∗ c = 0 } der Annullator von c in A.)

Zusammenfassung (Die Peirce-Zerlegung)

Die Peirce-Zerlegung semiquadratischer Algebren hat die Form

A = A_{1}^{1}(c) ⊕ A_{1}^{0}(c) ⊕ A_{0}(c)

mit \begin{aligned}A_{1}^{1}(c) & = & \{ x ∈ A | c ∗ x = x, (x ∗ c) ∗ c = x \}, \\ A_{1}^{0}(c) & = & \{ x ∈ A | c ∗ x = x, x ∗ c = 0 \}, \\ A_{0}(c) & = & \{ x ∈ A | c ∗ x = x ∗ c = 0 \}. \end{aligned}

Im nächsten Abschnitt werden wir uns den multiplikativen Eigenschaften dieser Zerlegung zuwenden.

9 Multiplikative Eigenschaften

Hier betrachten wir die Komponenten der im vorigen Abschnitt hergeleiteten Peirce-Zerlegung semiquadratischer Algebren etwas genauer. Besonders das multiplikative Verhalten der verschiedenen Komponenten wird untersucht. 9.1 Feststellung (Multiplikation der linksseitigen Komponenten) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element.

Dann gilt mit den Bezeichnungen aus 8.7 (1) und Anhang A.5

(1) A_{1}(c) ∗ A_{1}(c) = A_{1}(c),

(2) A_{0}(c) ∗ A_{0}(c) ⊆ A_{0}(c),

(3) A_{1}(c) ∗ A_{0}(c) = {0},

(4) A_{0}(c) ∗ A_{1}(c) = {0}. [ Die Inklusionen ”⊆ “ergeben sich aus der Zerlegung A = A_{1}(c) ⊞ A_{0}(c). Wegen c ∈ A_{1}(c) und c ∗ x = x für alle x ∈ A_{1}(c) gilt in (1) Gleichheit. ]

9.2 Proposition (Multiplikation der zweiseitigen Komponenten) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element. Dann gilt mit den Bezeichnungen aus 8.7 (2) und Anhang A.5

(1) A_{1}^{0}(c) ∗ A_{1}^{1}(c) = {0},

(2) A_{1}^{0}(c) ∗ A_{1}^{0}(c) = {0},

(3) A_{1}^{1}(c) ∗ A_{1}^{0}(c) ⊆ Sq(A).

Beweis: Zunächst ist z = c ∗ z = c ∗ z + z ∗ c ∈ Sq(A) für alle z ∈ A_{1}^{0}(c). (1),(2): Für alle x ∈ A_{1}(c) = A_{1}^{1}(c) + A_{1}^{0}(c) haben wir c ∗ x = x, also

z ∗ x = z ∗ (c ∗ x) =_{(SQ)} (z ∗ c) ∗ x = 0 für alle z ∈ A_{1}^{0}(c).

(3): Nach (1) gilt x ∗ z = x ∗ z + z ∗ x ∈ Sq(A) für alle x ∈ A_{1}^{1}(c), z ∈ A_{1}^{0}(c).

□

§9 Multiplikative Eigenschaften

9.3 Hilfssatz (Multiplikation der verfeinerten Komponenten) Sei R ein kommutativer Ring mit \frac{1}{2} ∈ R und A sei eine semiquadratische R-Algebra, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element.

Dann gilt mit den Bezeichnungen aus 8.7 (3) und Anhang A.5

(1) A_{1}^{+}(c) ∗ A_{1}^{σ}(c) = A_{1}^{σ}(c) für jedes σ ∈ {+, −, 0},

(2) A_{1}^{−}(c) ∗ A_{1}^{+}(c) = A_{1}^{−}(c),

(3) A_{1}^{−}(c) ∗ A_{1}^{0}(c) ⊆ A_{1}^{+}(c) + A_{1}^{0}(c).

Beweis:

(1): Wegen A_{1}^{+}(c) ⊆ Sq(A) gilt

(x ∗ y) ∗ c =_{(SQ)} x ∗ (y ∗ c) = σ x ∗ y für alle x ∈ A_{1}^{+}(c), y ∈ A_{1}^{σ}(c).

(2): Für alle x ∈ A_{1}^{+}(c), y ∈ A_{1}^{−}(c) haben wir

\begin{aligned}y ∗ x & = & y ∗ (x ∗ c) =_{(SQ)} x ∗ (y ∗ c) \\ & = & −x ∗ y, \end{aligned}

also y ∗ x ∈ A_{1}^{−}(c) nach (1).

(3) gilt nach 9.2 (3) und 8.8 (3). □

9.4 Beobachtung (Skalarer Anteil) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element.

In der assoziativen S_{1}(A)-Algebra Sq(A) (quadratischer Kern als Algebra über dem Multiplikationsring, vgl. 6.7 bzw. 6.1) ist

\begin{aligned}S_{c}(A) & := & Sq(A) ∗ c \\ & = & \{ s ∈ Sq(A) | c ∗ s = s ∗ c = s \} \end{aligned}

eine kommutative Teilalgebra mit Einselement c, die wir wir den skalaren Anteil von A (bezüglich c) nennen und mit S_{c}(A) bezeichnen.

Durch s x := s ∗ x für alle s ∈ S_{c}(A), x ∈ A_{1}(c) wird auf A_{1}(c) eine S_{c}(A)-Modulstruktur definiert, bezüglich der A_{1}^{1}(c) und A_{1}^{0}(c) Untermoduln sind und A_{1}(c) (mit Multiplikation ∗) zu einer S_{c}(A)-Algebra wird.

9.5 Skalarer Anteil und Multiplikationsring

[ Für s′ ∈ Sq(A) und s = s′ ∗c bemerken wir c∗s = c∗(s′ ∗c) = s′ ∗(c∗c) = s und s ∗ c = (s′ ∗ c) ∗ c = s′ ∗ (c ∗ c) = s, daher hat S_{c}(A) die angegebene Darstellung und c ist Einselement.

Da Sq(A) eine assoziative semiquadratische Algebra ist, gilt nach 5.5 (2) die Identität s s′ s′′ = s′ s s′′ für alle s, s′, s′′ ∈ Sq(A), daher ist S_{c}(A) als unitäre Teilagebra von Sq(A) kommutativ. Wegen 6.5 und c x = c ∗ x = x für alle x ∈ A_{1}(c) ist A_{1}(c) ein S_{c}(A)-Modul und eine S_{c}(A)-Algebra. ]

9.5 Notiz (Skalarer Anteil und Multiplikationsring) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra mit Linkseinselement e.

Dann haben wir einen unitären S_{1}(A)-Algebren-Isomorphismus

S_{e}(A) ≅ S_{1}(A) via s ↔ L_{s}.

Ist A = Q_{∗} für eine quadratische Algebra Q mit kanonischer Konjugation, so gilt Sq(Q_{∗}) = S_{1_{Q}}(Q_{∗}), also

Sq(Q_{∗}) ≅ S_{1}(Q_{∗}) via s ↔ L_{s}.

[ Die Zuordnung s ↦ L_{s} liefert wegen (SQL) eine multiplikative S_{1}(A)- lineare Abbildung mit L_{e} = Id, da e Linkseinselement ist. Surjektivität liegt vor, denn L_{s∗e} = L_{s} L_{e} = L_{s} gilt für alle s ∈ Sq(A) wegen (SQL), Injektivität haben wir, weil für s ∈ S_{e}(A) mit L_{s} = O folgt s = s ∗ e = L_{s} e = 0. Wegen τ(x ∗ x) = τ(n(x) 1_{Q}) = n(x) 1_{Q} = x ∗ x für alle x ∈ Q ergibt sich s ∗ 1_{Q} = τ(s) 1_{Q} = τ(s) = s für alle s ∈ Sq(Q_{∗}). ]

9.6 Lemma (Quadratischer Anteil) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element.

Dann ist A_{1}^{1}(c) = { x ∈ A | c ∗ x = (x ∗ c) ∗ c = x } ein S_{c}(A)-Untermodul von A_{1}(c). Versehen wir A_{1}^{1}(c) mit der durch

x ·_{c} y := (((x ∗ c) ∗ y) ∗ c) ∗ c für alle x, y ∈ A_{1}^{1}(c)

definierten Multiplikation, so erhalten wir eine quadratische S_{c}(A)-Algebra, die wir mit Q_{c}(A) bezeichnen und quadratischen Anteil von A (bezüglich c) nennen. Der quadratische Anteil Q_{c}(A) hat c als Einselement,

n_{c} : Q_{c}(A) ⟶ S_{c}(A), n_{c}(x) := (x ∗ x) ∗ c als Normform,
t_{c} : Q_{c}(A) ⟶ S_{c}(A), t_{c}(x) := x ∗ c + x als Spurform,
τ_{c} : Q_{c}(A) ⟶ Q_{c}(A), τ_{c}(x) := x ∗ c  als kanonische Konjugation.

Beweis: Offenbar gilt S_{c}(A) ∗ A_{1}^{1}(c) ⊆ A_{1}^{1}(c). Da A_{1}(c) nach 9.4 eine S_{c}(A)-Algebra ist, folgt S_{c}(A)-Bilinearität von μ_{c} : A_{1}^{1}(c) × A_{1}^{1}(c) ⟶ A_{1}^{1}(c), (x, y) ↦ x ·_{c} y. Weil (c ∗ c) ∗ x = x und (x ∗ c) ∗ c = x für alle x ∈ A_{1}^{1}(c) gilt, ist Q_{c}(A) eine unitäre S_{c}(A)-Algebra.

Zum Nachweis der charakteristischen Gleichung bemerken wir

x ·_{c} x = (((x ∗ c + c ∗ x) ∗ x) ∗ c) ∗ c − (((c ∗ x) ∗ x) ∗ c) ∗ c
= (x ∗ c + x) (x ∗ c) ∗ c − c (x ∗ x) (c ∗ c)
= t_{c}(x) x − n_{c}(x) c  für alle x ∈ A_{1}^{1}(c).

Wegen (x ∗ c) ∗ c = x gilt t_{c}(x) ∗ c = t_{c}(x), also t_{c}(x) ∈ S_{c}(A) sowie τ_{c}(x) = t_{c}(x) c − x = x ∗ c für alle x ∈ A_{1}^{1}(c), insbesondere τ_{c}(c) = c. □

9.7 Bemerkungen (Quadratischer Anteil)

(1) Mit den Bezeichnungen aus 9.6 gilt x ∗ s = s ∗ τ_{c}(x) für alle s ∈ S_{c}(A), x ∈ Q_{c}(A).

[ Nach (SQ) ist x ∗ (s ∗ c) = s ∗ (x ∗ c) für alle s ∈ S_{c}(A), x ∈ Q_{c}(A). ]

(2) Der quadratische Kern der linkskonjugierten Algebra des quadratischen Anteils Q_{c}(A) ist

Sq(Q_{c}(A)_{∗}) = S_{c}(A),

denn τ_{c}(q) ·_{c} q = (((q ∗ c) ∗ c) ∗ q) ∗ c) ∗ c = (q ∗ q) ∗ c für alle q ∈ Q_{c}(A) und S_{c}(A) = Sq(A) ∗ c ⊆ A_{1}^{1}(c).

(3) Im Falle \frac{1}{2} ∈ R haben wir

S(Q_{c}(A)) = S_{c}(A) = A_{1}^{+}(c), den skalaren Anteil,
V(Q_{c}(A)) = A_{1}^{−}(c),  den vektoriellen Anteil (vgl. 3.8).

Für den vektoriellen Anteil schreiben wir kurz V_{c}(A) statt V(Q_{c}(A)).

9.8 Annullator-Anteil

9.8 Definition (Annullator-Anteil) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element.

Dann bezeichnen wir den S_{1}(A)-Modul Z_{c}(A) := A_{1}^{0}(c) als Annullator-Anteil von A (bezüglich c). Für die Zerlegung A_{1}(c) = Q_{c}(A) ⊕ Z_{c}(A) als direkte Summe von S_{1}(A)-Untermoduln sind die zugehörigen Projektionen P_{Q}(c), P_{Z}(c) ∈ End_{S_{1}(A)}(A_{1}(c)) definiert durch

P_{Q}(c) x := (x ∗ c) ∗ c
P_{Z}(c) x := x − (x ∗ c) ∗ c für alle x ∈ A_{1}(c).

9.9 Fazit (Multiplikative Struktur der Peirce-Zerlegung) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element.

(1) Dann ist A = A_{1}(c) ⊞ A_{0}(c) die direkte Summe der Ideale A_{1}(c) und A_{0}(c) in A, wobei c Linkseinselement von A_{1}(c) ist und A_{0}(c) = Ann_{A}(c) gilt.

(2) Weiter haben wir A_{1}(c) = Q_{c}(A)⊕Z_{c}(A) als direkte Summe von S_{1}(A)- Untermoduln mit dem quadratischen Anteil Q_{c}(A), in dem c Einselement ist, und dem Annullatoranteil Z_{c}(A), für den Z_{c}(A) ∗ A = {0} gilt.

(3) Im Falle \frac{1}{2} ∈ R können wir wiederum Q_{c}(A) = S_{c}(A) ⊕ Z_{c}(A) zerlegen in einen skalaren Anteil S_{c}(A) und einen vektoriellen Anteil V_{c}(A) (vgl. 3.8). Dabei ergibt sich für die Zerlegung der S_{1}(A)-Algebra als direkte Summe von S_{1}(A)-Untermoduln A = S_{c}(A)⊕V_{c}(A)⊕Z_{c}(A)⊕A_{0}(c) die folgende multiplikative Struktur.

S_{c}(A)  V_{c}(A)  Z_{c}(A)  A_{0}(c)
S_{c}(A) S_{c}(A)  V_{c}(A)  Z_{c}(A)  {0}
V_{c}(A) V_{c}(A) S_{c}(A) + V_{c}(A) + Z_{c}(A) S_{c}(A) + Z_{c}(A) {0}
Z_{c}(A) {0}  {0}  {0}  {0}
A_{0}(c) {0}  {0}  {0}  A_{0}(c)

(4) In 10.9 wird sich zeigen, dass sich die Eintragungen in der obigen Multiplikationstafel nicht verbessern lassen.

Zusammenfassung (Multiplikative Eigenschaften)

Die linksseitige 1-Komponente A_{1}(c) der Peirce-Zerlegung einer semiquadratischen Algebra A setzt sich aus einem quadratischen Anteil Q_{c}(A) und einem Annullator-Anteil Z_{c}(A) zusammen: A_{1}(c) = Q_{c}(A) ⊕ Z_{c}(A).

Auch der skalare Anteil S_{c}(A) = Sq(A) ∗ c ⊆ Q_{c}(A) kommt in der multiplikativen Struktur vor.

Q_{c}(A)  Z_{c}(A)
Q_{c}(A) Q_{c}(A) + Z_{c}(A) S_{c}(A) + Z_{c}(A)
Z_{c}(A)  {0}  {0}

Im Falle \frac{1}{2} ∈ R lassen sich noch genauere Aussagen machen, vgl. 9.9 (3).

10 Annullatorerweiterungen

10.1 Proposition (Zerlegung der Multiplikation) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra mit Linkseinselement e, also e ∗ x = x für alle x ∈ A, insbesondere A = A_{1}(e).

Dann gibt es eindeutig bestimmte S_{1}(A)-bilineare Abbildungen

ξ_{e} : Q_{e}(A) × Z_{e}(A)⟶S_{e}(A) mit ξ_{e}(e, z) = 0  für alle z ∈ Z_{e}(A),
η_{e}: Q_{e}(A) × Z_{e}(A)⟶Z_{e}(A) mit η_{e}(e, z) = z  für alle z ∈ Z_{e}(A),
ζ_{e} : Q_{e}(A) × Q_{e}(A)⟶Z_{e}(A) mit ζ_{e}(e, q) = ζ_{e}(q, e) = 0 für alle q ∈ Q_{e}(A),

die folgende Gleichung erfüllen:

(q + z) ∗ (q′ + z′) = τ_{e}(q) ·_{e} q′ + ξ_{e}(q, z′) + ζ_{e}(q, q′) + η_{e}(q, z′)

für alle q, q′ ∈ Q_{e}(A), z, z′ ∈ Z_{e}(A), wobei die Bezeichnungen q·_{e}q′ = (q∗e)∗q′ und τ_{e}(x) = x ∗ e in 9.6 eingeführt wurden.

Beweis: Als Linkseinselement ist e ein idempotentes Element mit A_{1}(e) = A. Setze ξ_{e}(q, z) := P_{Q}(e) (q ∗ z), η_{e}(q, z) := P_{Z}(e) (q ∗ z), ζ_{e}(q, q′) := P_{Z}(e) (q ∗ q′). Dann gilt ξ_{e}(q, z) ∈ S_{e}(A) für alle q ∈ Q, z ∈ Z_{e}(A), denn nach 9.2 (3) ist Q_{e}(A) ∗ Z_{e}(A) ⊆ Sq(A), also ξ_{e}(q, z) = ((q ∗ z) ∗ e) ∗ e ∈ Sq(A) ∗ e. Die Abbildungen ξ_{e}, η_{e}, ζ_{e} sind S_{1}(A)-bilinear, weil A eine S_{1}(A)-Algebra ist und es sich bei P_{Q}(e), P_{Z}(e) um S_{1}(A)-lineare Abbildungen handelt, und

ξ_{e}(e, z) = P_{Q}(e) (e ∗ z) = P_{Q}(e) z  = 0 für alle z ∈ Z_{e}(A),
η_{e}(e, z) = P_{Z}(e) (e ∗ z) = P_{Z}(e) z  = z für alle z ∈ Z_{e}(A),
ζ_{e}(e, q) = P_{Z}(e) (e ∗ q) = P_{Z}(e) q  = 0 für alle q ∈ Q_{e}(A),
ζ_{e}(q, e) = P_{Z}(e) (q ∗ e) = P_{Z}(e) τ_{e}(q) = 0 für alle q ∈ Q_{e}(A).
□

10.2 Definition (Erweiterungsannullator) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra.

Als Erweiterungsannullator für A bezeichen wir einen S_{1}(A)-Modul Z zusammen mit S_{1}(A)-bilinearen Abbildungen ξ, η, ζ, die folgende (aus Proposition 10.1 bekannten) Eigenschaften haben:

ξ : A × Z ⟶ Sq(A) und ξ(s, z) = 0  für alle s ∈ Sq(A), z ∈ Z,
η : A × Z ⟶ Z und η(s, z) = s z für alle s ∈ Sq(A), z ∈ Z,
ζ : A × A ⟶ Z  und ζ(s, a) = ζ(a, s) = 0 für alle s ∈ Sq(A), a ∈ A.

(Bei der Bedingung für η wurde die Schreibweise aus 6.8 verwendet.) Hat A ein Linkseinselement e, so nennen wir einen Erweiterungsannullator Z, ξ, η, ζ linksunitär, wenn η(e, ·) = Id_{Z} gilt, also ez = z (z ∈ Z).

§10 Annullatorerweiterungen

10.3 Hilfssatz (Annullatorerweiterung) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra. Ferner sei Z, ξ, η, ζ ein Erweiterungsannullator für A (vgl. 10.2).

(1) Dann ist A ⊕ Z versehen mit der Multiplikation

(a ⊕ z) ∗ (a′ ⊕ z′) := (a ∗ a′ + ξ(a, z′)) ⊕ (η(a, z′) + ζ(a, a′))

eine semiquadratische S_{1}(A)-Algebra, die wir die Annullatorerweiterung von A um Z, ξ, η, ζ nennen und mit A[Z, ξ, η, ζ] bezeichnen. Dafür gilt

Sq(A[Z, ξ, η, ζ]) ⊆ Sq(A) ⊕ Z

und ({0} ⊕ Z) ∗ A[Z, ξ, η, ζ] = {0 ⊕ 0}.

(2) Hat A ein Linkseinselement und ist Z, ξ, η, ζ linksunitär, so ist e ⊕ 0 Linkseinselement in A[Z, ξ, η, ζ] und es gilt {0} ⊕ Z ⊆ Sq(A[Z, ξ, η, ζ]).

Beweis:

(1) Wegen der vorausgesetzten S_{1}(A)-Bilinearität von ξ, η, ζ ist die angegebene Multiplikation S_{1}(A)-bilinear. Wir bemerken

(a⊕z)∗(a⊕z) = (a∗a+ξ(a, z))⊕(η(a, z)+ζ(a, a)) ∈ Sq(A)⊕Z

für alle a ∈ A, z ∈ Z. Linksmultiplikation mit Elementen der Form s ⊕ z (s ∈ Sq(A), z ∈ Z) verhält sich wie skalare Vervielfachung mit s,

(s ⊕ z) ∗ (a′ ⊕ z′) = s a′ ⊕ s z′ = s (a′ ⊕ z′)

für alle s ∈ Sq(A), a′ ∈ A, z, z′ ∈ Z, daher sind (SQ1) und (SQ2) erfüllt, das heißt A[Z, ξ, η, ζ] ist eine semiquadratische S_{1}(A)-Algebra, und die behauptete Inklusion gilt. Dass {0} ⊕ Z ganz A[Z, ξ, η, ζ] annulliert, ist klar nach Definition der Multiplikation in A[Z, ξ, η, ζ].

(2) Wegen η(e, ·) = Id_{Z} und des Verhaltens der Abbildungen ξ und ζ für Elemente des quadratischen Kernes haben wir

\begin{aligned}(e ⊕ 0) ∗ (a′ ⊕ z′) & := & (e ∗ a′ + ξ(e, z′)) ⊕ (η(e, z′) + ζ(e, a′)) \\ & = & a′ ⊕ z′ \end{aligned}

für alle a′ ∈ A, z′ ∈ Z, also auch

0 ⊕ z′ = (e ⊕ 0) ∗ (0 ⊕ z′) + (0 ⊕ z′) ∗ e ∈ Sq(A[Z, ξ, η, ζ]). □

10.4 Zerlegungen der Annullatorerweiterung

10.4 Bemerkungen (Zerlegungen der Annullatorerweiterung) Sei c ∗ c = c ∈ A in der Situation aus 10.3 ein idempotentes Element.

(1) Dann ist c ⊕ 0 idempotentes Element in A[Z, ξ, η, ζ] mit

\begin{aligned}A[Z, ξ, η, ζ]_{1}(c ⊕ 0) & = & A_{1}(c) ⊕ Z_{1}(c), \\ A[Z, ξ, η, ζ]_{0}(c ⊕ 0) & = & A_{0}(c) ⊕ Z_{0}(c), \end{aligned}

wobei Z_{1}(c) := { z ∈ Z | c z = z } und Z_{0}(c) := { z ∈ Z | c z = 0 }.

(Es ist Z = Z_{1}(c) ⊕ Z_{0}(c) direkte Summe von S_{1}(A)-Untermoduln mit zugehörigen Projektionen z ↦ c z bzw. z ↦ z − c z.)

(2) Ferner gilt \begin{aligned}A[Z, ξ, η, ζ]_{1}^{1}(c ⊕ 0) & = & A_{1}^{1}(c) ⊕ \{0\}, \\ A[Z, ξ, η, ζ]_{1}^{0}(c ⊕ 0) & = & A_{1}^{0}(c) ⊕ Z_{1}(c). \end{aligned}

(3) Im Falle \frac{1}{2} ∈ R haben wir \begin{aligned}A[Z, ξ, η, ζ]_{1}^{+}(c ⊕ 0) & = & A_{1}^{+}(c) ⊕ \{0\}, \\ A[Z, ξ, η, ζ]_{1}^{−}(c ⊕ 0) & = & A_{1}^{−}(c) ⊕ \{0\}. \end{aligned}

[ Es gilt L_{c⊕0}(a′⊕z′) = c a⊕c z und R_{c⊕0}(a⊕z) = a∗c⊕0 für alle a, a′ ∈ A, z, z′ ∈ Z. ]

10.5 Notation (Direkte Summe von linearen Abbildungen) Sei R ein Ring, X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2} seien R-Moduln.

Dann wird durch

Υ : Hom_{R}(X_{1}, Y_{1}) ⊕ Hom_{R}(X_{2}, Y_{2}) ⟶ Hom_{R}(X_{1}⊕X_{2}, Y_{1}⊕Y_{2}),

Υ(f_{1} ⊕ f_{2}) (x_{1} ⊕ x_{2}) := f_{1}(x_{1}) ⊕ f_{2}(x_{2})

für alle f_{1} ∈ Hom_{R}(X_{1}, Y_{1}), f_{2} ∈ Hom_{R}(X_{2}, Y_{2}), x_{1} ∈ X_{1}, x_{2} ∈ X_{2} eine injektive R-lineare Abbildung definiert.

Statt Υ(f_{1} ⊕ f_{2}) werden wir meist einfach f_{1} ⊕ f_{2} schreiben, etwa wie in f_{1} ⊕ f_{2} : X_{1} ⊕ X_{2} ⟶ Y_{1} ⊕ Y_{2}.

10.6 Lemma (Wiederholte Annullatorerweiterung) Sei R ein kommutativer Ring, A eine semiquadratische R-Algebra mit Linkseinselement e und Z, ξ, η, ζ ein linksunitärer Erweiterungsannullator für A.

Dann ist e′ := e ⊕ 0 Linkseinselement von A′ := A[Z, ξ, η, ζ]. Ist nun Z′, ξ′, η′, ζ′ ein Erweiterungsannullator für A′, so gibt es einen Erweiterungsannullator Z′′, ξ′′, η′′, ζ′′ für A mit

\begin{aligned}A[Z′′, ξ′′, η′′, ζ′′] & = & A′[Z′, ξ′, η′, ζ′] \\ & = & A[Z, ξ, η, ζ][Z′, ξ′, η′, ζ′]. \end{aligned}

Beweis:

Weil L_{s⊕0}(a ⊕ z) = s ∗ a ⊕ s z für alle s ∈ Sq(A), a ∈ A, z ∈ Z gilt, erhalten wir einen Ringhomomorphismus

𝟋 : S_{1}(A) ⟶ S_{1}(A[Z, ξ, η, ζ])
r Id_{A} +L_{s} ↦ r Id +L_{s⊕0} = (r Id_{A} +L_{s}) ⊕ ν_{Z}(r Id +L_{s}, ·)

mit der Abbildung ν_{Z} : S_{1}(A) × Z ⟶ Z, ν_{Z}(γ, z) := γ z (skalare Multiplikation im S_{1}(A)-Modul Z) und der Schreibweise ohne Υ aus 10.5. Durch 𝟋 wird Z′ ein S_{1}(A)-Modul, daher ist auch Z′′ := Z ⊕ Z′ ein S_{1}(A)-Modul.

Bezeichnen pr_{A} : A[Z, ξ, η, ζ] ⟶ A und pr_{Z} : A[Z, ξ, η, ζ] ⟶ Z die kanonischen Projektionen, so definieren wir S_{1}(A)-bilineare Abbildungen

ξ′′ : A × Z′′ ⟶ Sq(A)
η′′ : A × Z′′ ⟶ Z′′
ζ′′ : A × A ⟶ Z′′

durch

\begin{aligned}ξ′′(a_{1}, z_{2} ⊕ z′_{2}) & := & ξ(a_{1}, z_{2}) + pr_{A}(ξ′(a_{1} ⊕ 0, z′_{2})), \\ η′′(a_{1}, z_{2} ⊕ z′_{2}) & := & (η(a_{1}, z_{2}) + pr_{Z}(ξ′(a_{1} ⊕ 0, z′_{2}))) ⊕ η′(a_{1} ⊕ 0, z′_{2}), \\ ζ′′(a_{1}, a_{2}) & := & ζ(a_{1}, a_{2}) ⊕ ζ′(a_{1} ⊕ 0, a_{2} ⊕ 0) \end{aligned}

für alle a_{1}, a_{2} ∈ A, z_{2} ∈ Z, z′_{2} ∈ Z′. Wegen

Sq(A′) = Sq(A[Z, ξ, η, ζ]) ⊆ Sq(A) ⊕ Z

gilt pr_{A}(ξ′(a_{1} ⊕ 0, z′_{2})) ∈ Sq(A), so dass Z′′, ξ′′, η′′, ζ′′ ein Erweiterungsannullator für A ist.

Schließlich ist für alle a_{1}, a_{2} ∈ A, z_{1}, z_{2} ∈ Z, z′_{1}, z′_{2} ∈ Z′

(a_{1} ⊕ z_{1} ⊕ z′_{1}) ∗ (a_{2} ⊕ z_{2} ⊕ z′_{2}) = a_{3} ⊕ z_{3} ⊕ z′_{3}

mit

\begin{aligned}a_{3} & = & a_{1} ∗ a_{2} + ξ(a_{1}, z_{2}) + pr_{A}(ξ′(a_{1} ⊕ z_{1}, z′_{2})), \\ z_{3} & = & η(a_{1}, z_{1}) + ζ(a_{1}, a_{2}) + pr_{Z}(ξ′(a_{1} ⊕ z_{1}, z′_{2})), \\ z′_{3} & = & η′(a_{1} ⊕ z_{1}, z′_{2}) + ζ′(a_{1} ⊕ z_{1}, a_{2} ⊕ z_{2}). \end{aligned}

Dabei haben wir ξ′(0⊕z_{1}, z′_{2}) = 0, ζ′(a_{1} ⊕z_{1}, 0⊕z_{2}) = ζ′(0⊕z_{1}, a_{2} ⊕z_{2}) = 0, da {0}⊕Z ⊆ Sq(A′). sowie η′(0⊕z_{1}, z′_{2}) = 0, weil L_{0⊕z} = O für alle z ∈ Z. Demnach ergibt sich

a_{3}⊕z_{3}⊕z′_{3} = (a_{1}∗a_{2}+ξ′′(a_{1}, z_{2}⊕z′_{2}))⊕(η′′(a_{1}, z_{2}⊕z′_{2})+ζ′′(a_{1}, a_{2})).
□

10.7 Quadratischer Ring des quadratischen Anteils

10.7 Beobachtungen (Quadratischer Ring des quadratischen Anteils) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element.

(1) Der quadratische Kern (vgl. 6.1) der linkskonjugierten Algebra (vgl. 4.8) des quadratischen Anteils Q_{c}(A) von A (vgl. 9.6) wird erzeugt von den Quadraten τ_{c}(q)·_{c}q = P_{Q}(q∗q) = ((q∗q)∗c)∗c = (q∗q)∗c mit q ∈ Q_{c}(A), also gilt Sq(Q_{c}(A)_{∗}) = S_{c}(A).

(2) Wir haben einen R-Algebren-Isomorphismus

ϕ : S_{c}(A) ⟶ S_{1}(Q_{c}(A)_{∗}), s ↦ ϕ_{s}
mit ϕ_{s}(q) := s ∗ q für alle q ∈ Q_{c}(A).

[ ϕ ist eine R-lineare Abbildung mit S_{1}(Q_{c}(A)_{∗}) = R Id +ϕ[Sq(Q_{c}(A)_{∗}]. Nach (1) und wegen ϕ_{c} = Id ist ϕ surjektiv. Ist andererseits s ∈ Kern ϕ, so folgt s = s ∗ c = ϕ_{s}(c) = 0, also ist ϕ injektiv. ]

10.8 Satz (Semiquadratische Algebren mit Linkseinselement) Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra mit Linkseinselement e.

Dann ist A als S_{e}(A)-Algebra isomorph zu einer Annullatorerweiterung der linkskonjugierten Algebra einer quadratischen S_{e}(A)-Algebra. Mit den Bezeichnungen aus Abschnitt 8, Lemma 10.1 und Hilfssatz 10.3 gilt nämlich

A ≅ Q_{e}(A)_{∗}[Z_{e}(A), ξ_{e}, η_{e}, ζ_{e}].

(Hier haben wir S_{1}(Q_{e}(A)_{∗}) gemäß 10.7 (2) mit S_{e}(A) identifiziert.) Insbesondere ist jede semiquadratische R-Algebra mit Linkseinselement isomorph zu einer semiquadratischen R-Algebra der Form Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ].

Beweis: Als S_{e}(A)-Modul ist A = A_{1}(e) = Q_{e}(A) ⊕ Z_{e}(A) zu Q_{e}(A)_{∗}[Z_{e}(A), ξ_{e}, γ_{e}, δ_{e}] isomorph via q + z ↦ q ⊕ z. Dies ist ein S_{e}(A)-Algebren-Isomorphismus, denn für alle q, q′ ∈ Q_{e}(A), z, z′ ∈ Z_{e}(A) gilt nach 10.1 bzw. 10.3

\begin{matrix}(q + z) ∗ (q′ + z′) = (τ_{e}(q) ·_{e} q′ + ξ_{e}(q, z′)) + (η_{e}(q, z′) + ζ_{e}(q, q′)) \\ (q ⊕ z) ∗ (q′ ⊕ z′) = (τ_{e}(q) ·_{e} q′ + ξ_{c}(q, z′)) ⊕ (η_{e}(q, z′) + ζ_{e}(q, q′)). \end{matrix} □

10.9 Hinweis (Multiplikative Struktur) Sei R ein kommutativer Ring mit \frac{1}{2} ∈ R, Q sei eine quadratische Algebra über R und Z, ξ, η, ζ sei ein linksunitärer Erweiterungsannullator für Q_{∗}.

Dann ergibt sich für die semiquadratische R-Algebra A := Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] mit Linkseinselement e := 1_{Q}⊕0 nach 10.4 und 8.9 (2) die folgende Zerlegung der S_{e}(A)-Algebra A = S⊕V ⊕Z als direkte Summe der S_{e}(A)-Untermoduln

\begin{aligned}S & := & S_{e}(A) & = & S(Q) & ⊕ & \{0\}, \\ V & := & V_{e}(A) & = & V(Q) & ⊕ & \{0\}, \\ Z & := & Z_{e}(A) & = & \{0\} & ⊕ & Z, \end{aligned}

mit der folgenden multiplikativen Struktur.

S  V  Z
S S  V  Z
V V τ[V] · V + ζ(V, V) ξ(V, Z) + η(V, Z)
Z {0}  {0}  {0}

Die Eintragungen der Multiplikationstafel aus 9.9 (3) sind also optimal.

Zusammenfassung (Annullatorerweiterungen)

Semiquadratische Algebren mit Linkseinselement sind bis auf Isomorphie Annullatorerweiterungen der linkskonjugierten Algebra Q_{∗} einer quadratischen Algebra Q mit kanonischer Konjugation: A ≅ Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] mit einem passenden linksunitären Erweiterungsannullator Z, ξ, η, ζ. Diese Einsicht veranlasst uns dazu, im nächsten Abschnitt die Multiplikationsalgebra derartiger Annullatorerweiterungen zu untersuchen.

11 Die Multiplikationsalgebra

Die in den vorangegangenen Abschnitten mit Hilfe der Peirce-Zerlegung und ihrer multiplikativen Eigenschaften gewonnenen Strukturinformationen über semiquadratische Algebren verwenden wir jetzt dazu, die Multiplikationsalgebra semiquadratischer Algebren zu untersuchen, und anschließend den Aufbau von Idealen in semiquadratischen Algebren zu beschreiben.

11.1 Feststellung (Multiplikationsalgebra)

Sei R ein kommutativer Ring und A eine (semiquadratische) R-Algebra mit Multiplikation ∗.

Die von allen Links- und Rechtsmultiplikationen L_{a}, R_{b} ∈ End_{R}(A) mit a, b ∈ A (L_{a} x = a ∗ x und R_{b} x = x ∗ b für alle x ∈ A) erzeugte unitäre Teilalgebra der assoziativen R-Algebra End_{R}(A) ist die folgende Algebra

\begin{aligned}M(A) & := & R [\{ L_{a} | a ∈ A \} ∪ \{ R_{b} | b ∈ B \}] \\ & = & R [\{ L_{a} + R_{b} | a, b ∈ A \}]. \end{aligned}

Diese Algebra, die Multiplikationsalgebra von A, hat als Elemente die Linear-

kombinationen von Endomorphismen der Form r Id + ∏_{k=1}^{m}(L_{a_{k}} + R_{b_{k}}) mit

r ∈ R, a_{1}, …, a_{m}, b_{1}, …, b_{m} ∈ A, m ≧ 1.

11.2 Lemma (Zerlegung der Multiplikationsalgebra)

Sei R ein kommutativer Ring und A sei eine semiquadratische R-Algebra, sowie c ∗ c = c ∈ A ein idempotentes Element.

Mit den linksseitigen Komponenten A_{1}(c) und A_{0}(c) der Peirce-Zerlegung bezüglich c (vgl. 8.3) liefert Υ aus 10.5 einen Isomorphismus von R-Algebren

M(A_{1}(c)) ⊞ M(A_{0}(c)) ≅ M(A_{1}(c) ⊞ A_{0}(c)) ≅ M(A).

Beweis: (Wir verwenden die Schreibweise ohne Υ aus 10.5.) Wegen L_{a_{1}} ⊕ L_{a_{0}} = L_{a_{1}⊕a_{0}}, R_{b_{1}} ⊕ R_{b_{0}} = R_{b_{1}⊕b_{0}} für a_{j}, b_{j} ∈ A_{j}(c) und (φ_{1} ⊕ φ_{0}) (φ′_{1} ⊕ φ′_{0}) = (φ_{1} φ′_{1}) ⊕ (φ_{0} φ′_{0}) für φ_{j}, φ′_{j} ∈ M(A_{j}(c)), j ∈ {1, 0}, liegt ein surjektiver R-Algebren-Homomorphismus vor, der auch injektiv ist, da Kern(φ_{1} ⊕ φ_{0}) = Kern φ_{1} ⊕ Kern φ_{0}. □

§11 Die Multiplikationsalgebra

11.3 Notation (Abbildungen zur Annullatorerweiterung) Sei R ein kommutativer Ring, A sei eine semiquadratische R-Algebra und Z, ξ, η, ζ sei ein Erweiterungsannullator für A (vgl. 10.2).

Wir definieren nun zwei S_{1}(A)-quadratische Abbildungen ξ̂ und η̂ sowie eine S_{1}(A)-bilineare Abbildung ζ̂ durch

ξ̂(a ⊕ z)  := ξ(a, z) ⊕ 0 für alle a ∈ A, z ∈ Z,
η̂(a ⊕ z)  := 0 ⊕ η(a, z) für alle a ∈ A, z ∈ Z,
ζ̂(a ⊕ z, a′ ⊕ z′) := 0 ⊕ ζ(a, a′) für alle a, a′ ∈ A, z, z′ ∈ Z.

Die Bilinearisierungen D ξ̂ und D η̂ sind gegeben durch

\begin{aligned}D ξ̂(a ⊕ z, a′ ⊕ z′) & = & (ξ(a, z′) + ξ(a′, z)) ⊕ 0, \\ D η̂(a ⊕ z, a′ ⊕ z′) & = & 0 ⊕ (η(a, z′) + η(a′, z)) \end{aligned}

für alle a, a′ ∈ A, z, z′ ∈ Z.

11.4 Proposition (Erzeugende der Multiplikationsalgebra) Sei R ein kommutativer Ring und Q sei eine quadratische R-Algebra mit Einselement 1_{Q} und kanonischer Konjugation τ (τ(1_{Q}) = 1_{Q}). Für die linkskonjugierte Algebra Q_{∗} sei Z, ξ, η, ζ ein linksunitärer Erweiterungsannullator. (Vgl. 4.8, 10.2 und 10.6.)

Die Multiplikationsalgebra der Annullatorerweiterung A := Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] wird als unitäre Teilalgebra der assoziativen R-Algebra End_{R}(A) durch Endomorphismen der folgenden acht Arten erzeugt:

(i)  L_{q} ⊕ O : q′ ⊕ z′ ↦ q ∗ q′ ⊕ 0 für q ∈ Q,
(ii)  R_{q′} ⊕ O : q ⊕ z ↦ q ∗ q′ ⊕ 0 für q′∈ Q,
(iii) D ξ̂(q ⊕ 0, ·) : q′ ⊕ z′ ↦ ξ(q, z′) ⊕ 0 für q ∈ Q,
(iv) D ξ̂(·, 0 ⊕ z′) : q ⊕ z ↦ ξ(q, z′) ⊕ 0 für z′∈ Z,
(v) D η̂(q ⊕ 0, ·) : q′ ⊕ z′ ↦ 0 ⊕ η(q, z′) für q ∈ Q,
(vi) D η̂(·, 0 ⊕ z′) : q ⊕ z ↦ 0 ⊕ η(q, z′) für z′∈ Z,
(vii) ζ̂(q ⊕ 0, ·) : q′ ⊕ z′ ↦ 0 ⊕ ζ(q, q′) für q ∈ Q,
(viii) ζ̂(·, q′ ⊕ 0) : q ⊕ z ↦ 0 ⊕ ζ(q, q′) für q′∈ Q.

Für alle q, q′ ∈ Q, z, z′ ∈ Z gilt dabei

L_{q⊕z} = L_{q} ⊕ O + D ξ̂(q ⊕ 0, ·) + D η̂(q ⊕ 0, ·) + ζ̂(q ⊕ 0, ·),
R_{q′⊕z′} = R_{q′} ⊕ O + D ξ̂(·, 0 ⊕ z′) + D η̂(·, 0 ⊕ z′) + ζ̂(·, q′ ⊕ 0),

also R_{1_{Q}⊕0}(q ⊕ z) = τ(q) ⊕ 0 für alle q ∈ Q, z ∈ Z. (Links- und Rechtsmultiplikation sind gegeben durch L_{q} q′ = R_{q′} q = q ∗ q′ für alle q, q′ ∈ Q, die Schreibweise ohne Υ wie in (i) und (ii) wurde in 10.5 eingeführt, die Definition der Abbildungen ξ̂, η̂ und ζ̂ findet sich in 11.3.)

11.5 Konjugierte Multiplikationsalgebra

Beweis: Die gewünschten Darstellungen der Links- und Rechtsmultiplikationen als Summen von Endomorphismen der angegebenen Arten (i) bis (viii) lässt sich elementweise verifizieren.

Wegen der Linksunitarität von Z, ξ, η, ζ ist e := 1_{Q}⊕0 Linkseinselement von A, daher haben wir (mit den Bezeichnungen aus Abschnitt 8 und 9) die Zerlegung A = A_{1}(e) = Q_{e}(A)⊕Z_{e}(A) als direkte Summe von S_{1}(A)-Unter-moduln mit zugehörigen Projektionen P_{Q}(e) = R_{e}^{2}, P_{Z}(e) = Id −R_{e}^{2}, also P_{Q}(e), P_{Z}(e) ∈ M(A). Nun zeigt sich

\begin{aligned}R_{e}(q ⊕ z) & = & (q ∗ 1_{Q} + ξ(q, 0)) ⊕ (η(q, 0) + ζ(q, 1_{Q})) \\ & = & τ(q) ⊕ 0, \end{aligned}

so dass Q_{e}(A) = Q ⊕ {0} und Z_{e}(A) = {0} ⊕ Z gilt.

Alle angegebenen Endomorphismen liegen in der Multiplikationsalgebra:

L_{q} ⊕ O = P_{Q}(e) L_{q⊕0} P_{Q}(e),
R_{q′} ⊕ O = P_{Q}(e) R_{q′⊕0} P_{Q}(e),
D ξ̂(q ⊕ 0, ·) = P_{Q}(e) L_{q⊕0} P_{Z}(e),
D ξ̂(·, 0 ⊕ z′) = P_{Q}(e) R_{0⊕z′} P_{Q}(e),
D η̂(q ⊕ 0, ·) = P_{Z}(e) L_{q⊕0} P_{Z}(e),
D η̂(·, 0 ⊕ z′) = P_{Z}(e) R_{0⊕z′} P_{Q}(e),
ζ̂(q ⊕ 0, ·) = P_{Z}(e) L_{q⊕0} P_{Q}(e),
ζ̂(·, q′ ⊕ 0) = P_{Z}(e) R_{q′⊕0} P_{Q}(e). □

11.5 Bemerkungen (Konjugierte Multiplikationsalgebra)

(1) Ist Q eine quadratische Algebra mit kanonischer Konjugation τ, so entsteht die Multiplikationsalgebra der linkskonjugierten Algebra Q_{∗} (vgl. 4.8) durch Adjunktion von τ zur Multiplikationsalgebra von Q:

M(Q_{∗}) = M(Q)[τ].

Wir werden die Abkürzung M_{τ}(Q) := M(Q)[τ] verwenden und von der konjugierten Multiplikationsalgebra sprechen.

[ Wir haben M(Q) = R [{ L·_{q} + R·_{q′} | q, q′ ∈ Q }] mit L·_{q} x := q · x, R·_{q′} x := x · q′ für alle x ∈ Q (q, q′ ∈ Q). Wegen L_{q} = L·_{τ(q)} und R_{q′} = R·_{q′} τ mit τ = R_{1_{Q}} (q, q′ ∈ Q) folgt die Behauptung. ] (2) Die M_{τ}(Q)-Untermoduln von Q sind gerade die τ-stabilen Ideale in Q.

(Eine Teilmenge U von Q heißt τ-stabil, wenn τ[U] ⊆ U gilt.)

(3) In der Situation von Proposition 11.4 gilt (mit der Schreibweise ohne Υ aus 10.5) ψ ⊕ O ∈ M(Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ]) für alle ψ ∈ M_{τ}(Q).

[ M_{τ}(Q) ist die lineare Hülle aller Endomorphismen der folgenden Form

ψ = ∏_{k=1}^{m}(L_{q_{k}} + R_{q′_{k}} + r_{k} τ) mit q_{1}, …, q_{m}, q′_{1}, …, q′_{m} ∈ Q, r_{1}, …, r_{m} ∈ R.

Nun gilt ψ⊕O ∈ M(Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ]) wegen 11.4, da r Id = L_{r 1_{Q}} für r ∈ R und ψ_{1}ψ_{2} ⊕ O = (ψ_{1} ⊕ O) (ψ_{2} ⊕ O) für alle ψ_{1}, ψ_{2} ∈ End_{R}(Q). ]

11.6 Bezeichnungen (Monoidalgebra-Operation) Sei R ein kommutativer Ring.

(1) Sei Ω ein Monoid, also eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, für die es ein neutrales Element 1_{Ω} gibt. Die Monoidalgebra R [Ω] ist der freie R-Modul R^{(Ω)} versehen mit der durch bilineare Fortsetzung von e_{ω} · e_{ω′} := e_{ω ω′} definierten Multiplikation, (e_{ω})_{ω∈Ω} bezeichne hier die Standardbasis von R^{(Ω)}. Es gilt also

∑_{j=1}^{l} r_{j} e_{ω_{j}} · ∑_{k=1}^{m} r′_{k} e_{ω′_{k}} = ∑_{j=1}^{l} ∑_{k=1}^{m}(r_{j} · r_{k}) e_{ω_{j} ω′_{k}}

für r_{1}, …, r_{l}, r′_{1}, …, r′_{m} ∈ R, ω_{1}, …, ω_{l}, ω′_{1}, …, ω′_{m} ∈ Ω (l, m ∈ ℕ).

Die R-Algebra R [Ω] ist assoziativ und hat e_{Ω} := e_{1_{Ω}} als Einselement.

(2) Die Monoidalgebra R [Ω] aus (1) besitzt folgende universelle Eigenschaft (siehe [LehrbAlg2] Korollar 52.2).

Ist B eine assoziative R-Algebra mit Einselement 1_{B} und h : Ω ⟶ B eine multiplikative Abbildung mit h(1_{Ω}) = 1_{B}, so gibt es genau einen R-Algebren-Homomorphismus ϕ_{h} : R [Ω] ⟶ B mit ϕ_{h}(e_{ω}) = h(ω) für alle ω ∈ Ω.

(Dabei heißt h : Ω ⟶ B multiplikativ, wenn h(ω ω′) = h(ω) · h(ω′) für alle ω, ω′ ∈ Ω gilt.)

(3) Das freie Monoid Mo(X) einer Menge X besteht aus allen endlichen Folgen (x_{1}, …, x_{l}) von Elementen x_{1}, …, x_{l} ∈ X (l ∈ ℕ). Die leere Folge (m = 0), die wir mit () bezeichnen, ist dann neutrales Element bezüglich der durch (x_{1}, …, x_{l}) (x′_{1}, …, x′_{m}) := (x_{1}, …, x_{l}, x′_{1}, …, x′_{m})

11.7 Vielfache in Moduln über Monoidalgeben

für alle x_{1}, …, x_{l}, x′_{1}, …, x′_{m} ∈ X (l, m ∈ ℕ) definierten assoziativen Verknüpfung auf Mo(X).

Die Monoidalgebra R [ Mo(X) ] zum freien Monoid Mo(X) nennen wir kurz freie Monoidalgebra.

(4) Sei f : X × Y ⟶ Y eine R-bilineare Abbildung (mit R-Moduln X, Y).

Durch die rekursive Definition f_{⋆}() := Id_{Y} und

\begin{aligned}f_{⋆}(x_{1}, …, x_{m}, x_{m+1}) & := & f_{⋆}(x_{1}, …, x_{m}) ∘ f(x_{m+1}, ·) \\ & & für alle x_{1}, …, x_{m}, x_{m+1} ∈ X, m ∈ ℕ \end{aligned}

erhalten wir eine multiplikative Abbildung f_{⋆} : Mo(X) ⟶ End_{R}(Y).

Gemäß der universellen Eigenschaft der Monoidalgebra, vgl. (2), gibt es einen R-Algebren-Homomorphismus f_{∘} : R [ Mo(X) ] ⟶ End_{R}(Y) mit f_{∘}(e_{(x_{1},...,x_{l})}) = f_{⋆}(x_{1}, …, x_{l}) für alle x_{1}, …, x_{l} ∈ X, l ∈ ℕ, also f_{∘}(e_{()}) = Id_{Y} und f_{∘}(e_{(x_{1},...,x_{l})}) = f(x_{1}, ·) ∘ ⋯ ∘ f(x_{l}, ·).

11.7 Schreibweise (Vielfache in Moduln über Monoidalgeben)

Wenn aus dem Zusammenhang abgelesen werden kann, auf welche bilineare Abbildung f : X × Y ⟶ Y Bezug genommen wird, so bezeichnen wir mit ω.y das Produkt von e_{ω} ∈ R [ Mo(X) ] (ω ∈ Ω) und y ∈ Y bezüglich der R [ Mo(X) ]-Linksmodulstruktur auf Y, die zu der in 11.6 (3) eingeführten Abbildung f_{∘} : R [ Mo(X) ] ⟶ End_{R}(Y) gehört.

Wir haben also (x).y = f(x, y) für alle x ∈ X, y ∈ Y, und schreiben wir einfach ω_{1}.ω_{2}.y statt ω_{1}.(ω_{2}.y) für ω_{1}, ω_{2} ∈ Mo(X), y ∈ Y, so gilt

\begin{aligned}(x_{1}, …, x_{l}).y & = & (x_{1}). · · · .(x_{l}).y \\ & & für alle x_{1}, …, x_{l} ∈ X, y ∈ Y. \end{aligned}

Sind Teilmengen U von X und V von Y gegeben, so bezeichne

U.V := Lin_{R}({ (u_{1}, …, u_{l}).v | u_{1}, …, u_{l} ∈ U, l ∈ ℕ, v ∈ V })

die lineare Hülle der Menge aller Produkte von endlich vielen (eventuell auch gar keinen) Faktoren der Form (u), u ∈ U, mit einem v ∈ V.

11.8 Notiz (Untermoduln über der freien Monoidalgebra)

Die R [ Mo(X) ]-Untermoduln von Y sind gerade diejenigen Untermoduln des R-Moduls Y, die X-stabil (bezüglich f) sind, für die also f(X, V) ⊆ V gilt (und damit auch X.V ⊆ V). Demnach ist X.V = R [ Mo(X) ] V der durch V erzeugte X-stabile Untermodul von Y.

(Für jede Teilmenge V von Y haben wir V ⊆ X.V.)

11.9 Hilfssatz (Ideale semiquadratischer Algebren)

Sei R ein kommutativer Ring und Q sei eine quadratische Algebra über R mit Einselement 1_{Q} und kanonischer Konjugation τ (τ(1_{Q}) = 1_{Q}). Weiter sei Z, ξ, η, ζ ein linksunitärer Erweiterungsannullator für die linkskonjugierte Algebra Q_{∗}. (Vgl. 4.8, 10.2 und 10.6.)

(1) Für ein τ-stabiles Ideal U in Q ist

\begin{aligned}I_{Q}(U) & := & (U ⊕ Z_{U}) + (ξ(U, Z) + ξ(Q, Z_{U})) (Q ⊕ Z) \\ & & mit Z_{U} := Q.(η(U, Z) + ζ(U, Q) + ζ(Q, U)) \end{aligned}

das von U ⊕ {0} erzeugte Ideal in Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ].

(Dabei bezeichnet Q.V das in 11.7 eingeführte Produkt für den zu η gehörigen R [ Mo(Q) ]-Linksmodul Z.)

(2) Für einen Q-stabilen Untermodul V von Z ist

I_{Z}(V) := ({0} ⊕ V) + ξ(Q, V) (Q ⊕ Z)

das von {0} ⊕ V erzeugte Ideal in Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ].

(3) Für eine Teilmenge W ⊂ Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] ist

I(W) := I_{Q}(M_{τ}(Q) pr_{Q}[W]) + I_{Z}(Q. pr_{Z}[W])

das von W erzeugte Ideal in Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ].

(Dabei bezeichnen pr_{Q} : Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] ⟶ Q, pr_{Z} : Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] ⟶ Z die kanonischen Projektionen und Q. pr_{Z}[W] das in 11.7 eingeführte Produkt.)

Zusammenfassung

Beweis:

Die Ideale von Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] sind die M(Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ])-Untermoduln.

(1) Proposition 11.4 zeigt, dass ξ(U, Z) ⊕ {0}, {0} ⊕ Z_{U}, ξ(Q, Z_{U}) ⊕ {0} und damit auch ξ(Q, Z_{U}) (Q ⊕ Z) in dem von U ⊕ {0} erzeugten Ideal enthalten sind.

Wegen ξ(Q, Z) ⊆ Sq(Q_{∗}) ist (ξ(U, Z) + ξ(Q, Z_{U})) (Q ⊕ Z) ein Ideal in Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ]. Das ist nun auch für I_{Q}(U) der Fall, denn U ist ein M_{τ}(Q)-Untermodul und η(Q, Z_{U}) ⊆ Q.Z_{U} ⊆ Z_{U}, weil Z_{U} ein Q-stabiler Untermodul von Z ist.

(2) Proposition 11.4 zeigt, dass ξ(Q, V) (Q⊕Z) in dem von {0}⊕V erzeugten Ideal enthalten sind.

Wegen η(Q, V) ⊆ Q.V ⊆ V ist I_{Z}(V) ein Ideal in Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ].

(3) Mit dem τ-stabilen Ideal U := M_{τ}(Q) pr_{Q}[W] von Q und dem Qstabilen Untermodul V := Q. pr_{Z}[W] von Z ist I(W) die Summe der Ideale I_{Q}(U) und I_{Z}(V). Wegen pr_{Q}(q ⊕ z) ⊕ 0 = R_{e}^{2}(q ⊕ z) und 0⊕pr_{Z}(q ⊕z) = (Id −R_{e}^{2})(q ⊕z) für alle q ∈ Q, z ∈ Z sind pr_{Q}[W]⊕{0} und {0} ⊕ pr_{Z}[W], und damit auch U ⊕ {0} und {0} ⊕ V, in dem von W erzeugten Ideal enthalten. Dieses ist gleich I(W) = I_{Q}(U) + I_{Z}(V), weil I_{Q}(U) und I_{Z}(V) nach (1) beziehungsweise (2) Ideale sind.

□

Zusammenfassung (Die Multiplikationsalgebra)

Die Multipikationsalgebra M(A) einer Algebra der Form A = Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] mit quadratischer Algebra Q wird erzeugt von Endomorphismen-Arten, die in engem Zusammenhang mit der Multiplikation von Q oder mit einer der Abbildungen ξ, η oder ζ stehen (vgl. Proposition 11.4). Die Ideale solcher Algebren setzen sich aus zwei Anteilen I_{Q} und I_{Z} zusammen, die nur durch Elemente von Q bezeihungsweise von Z erzeugt werden. (Für die genaue Ideal-Darstellung siehe 11.9.)

12 Einfache semiquadratische Algebren

Dieser Abschnitt befasst sich mit Eigenschaften einfacher semiquadratischer Algebren und gibt ein Beispiel für derartige Algebren, bei dem der quadratische Anteil nicht einfach ist. Als das Hauptergebnis dieser Arbeit ist das Einfachheitskriterium 12.7 enthalten. Dieses läßt die große Wahlfreiheit sichtbar werden, die bei der Konstruktion einfacher semiquadratischer Algebren mit Linkseinselement vorhanden ist.

12.1 Erinnerung (Einfache Algebren) Sei R ein kommutativer Ring.

Eine R-Algebra mit Multiplikation ∗ heißt einfach, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind.

(I) Das einzige von Null verschiedene Ideal von A ist gleich A.

(II) Es gilt A ∗ A ≠ {0}.

12.2 Notiz (Einfachheit als Modul) Da die von Null verschiedenen Ideale gerade die von Null verschiedenen M(A)-Moduln sind, bedeutet die Bedingung (I) aus 12.1, dass A als Linksmodul über der Multiplikationsalgebra M(A) einfach ist. (Dabei heißt in von Null verschiedener Linksmodul X über einem Ring S einfach, wenn X der einzige von Null verschiedene Untermodul von X ist, wenn also S x = X für alle x ∈ X mit x ≠ 0 gilt.)

12.3 Lemma (Zentroid einfacher Algebren) Sei R ein kommutativer Ring und A eine einfache R-Algebra.

Dann ist das Zentroid Γ(A) ein Körper.

(Das Zentroid wurde in 6.7 (5) definiert.)

Beweis: (Den Beweis für den Körperfall R = Φ hat [Ja62], p. 290f.)

Es gilt Γ(A) = End_{M(A)}(A), das heißt das Zentroid ist der Endomorphismenring von A als Linksmodul über der Multiplikationsalgebra M(A). (Der in der Theorie assoziativer Algebren gebräuchlichen Konvention, nach der Elemente des Zentroids von der rechten Seite operieren, wenn die Elemente der Multiplikationsalgebra von links operieren, schließen wir uns hier nicht an.)

12.4 Linksunitäre einfache semiquadratische Algebren

Nach 12.2 ist A als M(A)-Linksmodul einfach, folglich ist der Endomorphismenring End_{M(A)} eine Divisionsalgebra. (Jedes von Null verschiedene γ ∈ Γ(A) ist surjektiv, da γ[A] ein von Null verschiedenes Ideal ist, und injektiv, weil der Kern von γ nicht von Null verschieden sein kann.)

Es ist A ∗ A ein Ideal der einfachen Algebra A, das nach 12.1 (II) von Null verschieden ist, daher haben wir A ∗ A = A gemäß 12.1 (I). In dieser Situation ist Γ(A) kommutativ, denn es gilt

[γ_{1}, γ_{2}](a ∗ b) = γ_{1}(γ_{2}(a ∗ b)) − γ_{2}(γ_{1}(a ∗ b))
= γ_{1}(a ∗ γ_{2}(b)) − γ_{2}(γ_{1}(a) ∗ b)
= γ_{1}(a) ∗ γ_{2}(b) − γ_{1}(a) ∗ γ_{2}(b) = 0

für alle a, b ∈ A, γ_{1}, γ_{2} ∈ Γ(A). □

12.4 Proposition (Linksunitäre einfache semiquadratische Algebren) Sei R ein kommutativer Ring.

Für eine einfache semiquadratische R-Algebra A sind folgende Aussagen äquivalent.

(a) A hat ein Linkseinselement.

(b) Es gilt S(A) = S_{1}(A).

(c) Das Multiplikationsideal S(A) ist von Null verschieden.

(d) Es gilt Sq(A) ∗ A = A.

(e) Es gibt a, b ∈ A mit a^{2} ∗ b ≠ 0. Im Falle \frac{1}{2} ∈ R sind dazu außerdem folgende Aussagen äquivalent.

(f) Es gilt S(A) = Γ(A).

(g) Das Multiplikationsideal S(A) ist ein Körper.

Beweis:

(a) ⇒ (b): Ist e Linkseinselement, so gilt Id = L_{e} ∈ S(A) ◁ S_{1}(A), s. 6.7 (5).

(b) ⇒ (c): Es gilt Id ∈ S_{1}(A) ◁ S(A).

§12 Einfache semiquadratische Algebren

(c) ⇒ (a): Nach Voraussetzung gibt es ein s ∈ Sq(A) mit von Null verschiedener Linksmultiplikation L_{s} ∈ S(A) ⊆ Γ(A). Nun liefert Lemma 12.3 ein γ ∈ Γ(A) mit γ L_{s} = Id, also gilt x = γ(s ∗ x) = γ(s) ∗ x für alle x ∈ A, das heißt γ(s) ist Linkseinselement von A.

(a) ⇒ (d): Ist e Linkseinselement, so gilt e = e ∗ e ∈ Sq(A) und e ∗ A = A.

(d) ⇒ (e) ist klar.

(e) ⇒ (c): Wegen a^{2} ∗ b ≠ 0 ist L_{a^{2}} ∈ S(A) von Null verschieden.

(a) ⇒ (f): Ist e Linkseinselement, so gilt Id = L_{e} ∈ S(A) ◁ Γ(A), s. 6.7 (6).

(f) ⇒ (g) gilt nach 12.3.

(g) ⇒ (c) ist klar. □

12.5 Bemerkung (Zentral-einfache semiquadratische Algebren)

Sei R ein kommutativer Ring mit \frac{1}{2} ∈ R.

Nach 12.4 (f) sind einfache semiquadratische R-Algebren mit Linkseinselement als S_{1}(A)-Algebren zentral-einfach, denn S(A) ⊆ S_{1}(A) ⊆ Γ(A) gilt nach 6.7.

(Eine S-Algebra A heißt zentral, wenn Γ(A) = S Id gilt, und sie wird zentral-einfach genannt, wenn sie zentral und einfach ist.)

12.6 Beobachtung (Skalarer Anteil ist Körper)

Sei R ein kommutativer Ring mit \frac{1}{2} ∈ R und Q sei eine quadratische Algebra über R mit Einselement 1_{Q} und kanonischer Konjugation τ (τ(1_{Q}) = 1_{Q}). Weiter sei Z, ξ, η, ζ ein linksunitärer Erweiterungsannullator für die linkskonjugierte Algebra Q_{∗}.

Wenn die Annullatorerweiterung A := Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] einfach ist, dann ist

Sq(Q_{∗}) = S(Q) = R 1_{Q} ein Körper.

[ Sei r 1_{Q} von Null verschieden (r ∈ R). Dann gilt rA = A, da rA ein von Null verschiedenes Ideal in A ist. Nun gibt es s ∈ S(Q), v ∈ V(Q), z ∈ Z mit r((s + v) ⊕ z) = 1_{Q} ⊕ 0, d. h. r 1_{Q} · s = rs = 1_{Q} wegen Q = S(Q) ⊕ V(Q). ]

12.7 Einfachheitskriterium

12.7 Satz (Einfachheitskriterium) Sei F ein Körper, Q sei eine quadratische Algebra über F mit Einselement 1_{Q} und kanonischer Konjugation τ (τ(1_{Q}) = 1_{Q}) und für die linkskonjugierte Algebra Q_{∗} sei Z, ξ, η, ζ ein linksunitärer Erweiterungsannullator, Z ≠ {0}. (Vgl. 4.8, 10.2 und 10.6.)

Dann ist die semiquadratische F -Algebra Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] genau dann einfach, wenn folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

(A) Für jedes z ∈ Z mit z ≠ 0 gibt es q_{0}, q_{1}, …, q_{l} ∈ Q, l ∈ ℕ, mit

ξ(q_{0}, (q_{1}, …, q_{l}).z) ≠ 0.

(Vgl. 11.7 wegen der Schreibweise (q_{1}, …, q_{l}).z für η_{⋆}(q_{1}, …, q_{l})z.)

(B) Für jedes von Null verschiedene τ-stabile Ideal I in Q ist eine der folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

(i) ξ(I, Z) ≠ {0},

(ii) η(I, Z) + ζ(I, Q) + ζ(Q, I) ≠ {0}.

Beweis: Setze A := Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] und e := 1_{Q} ⊕ 0. Wir bemerken zunächst, dass die Bedingung (A) äquivalent ist zur folgenden Bedingung (A′).

(A′) Für jeden von Null verschiedenen Q-stabilen Untermodul V von Z gilt ξ(Q, V) ≠ {0}.

Jetzt zeigen wir die Notwendigkeit, der Bedingungen (A′) und (B).

(A′) : Weil I_{Z}(V) = ({0} ⊕ V) + ξ(Q, V) (Q ⊕ Z) aus 11.9 (2) ein von Null verschiedenes Ideal der einfachen Algebra A ist, haben wir I_{Z}(V) = A, also ξ(Q, V) ≠ {0}.

(B) : Angesichts 11.5 (2) haben wir nach 11.9 (1) für U := I folgendes von Null verschiedenes Ideal in A

\begin{aligned}I_{Q}(U) & = & (U ⊕ Z_{U}) + (ξ(U, Z) + ξ(Q, Z_{U})) (Q ⊕ Z) \\ & = & (U + T_{U} Q) ⊕ (Z_{U} + T_{U} Z) \end{aligned}

mit T_{U} := ξ(U, Z)+ξ(Q, Z_{U}), also gilt I_{Q}(U) = A, das heißt wir haben Z = Z_{I} +T_{I} Z. Wegen Z ≠ {0} erhalten wir Z_{I} ≠ {0} oder T_{I} ≠ {0}; im ersten Fall folgt (ii), da Z_{I} = Q.(η(I, Z) + ζ(I, Q) + ζ(Q, I)), der zweite Fall führt zu (i) oder zu (ii), je nach dem ob ξ(I, Z) ≠ {0} oder ξ(Q, Z_{I}) ≠ {0} gilt.

Nun zeigen wir, dass die Bedingungen (B) und (C) auch hinreichend sind.

Sei q ⊕ z ein von Null verschiedenes Element von A (q ∈ Q, z ∈ Z). Wir weisen nach, dass ein φ ∈ M(A) existiert mit φ(q ⊕ z) = e.

1. Fall: z ≠ 0.

Nach (B) gibt es q_{0}, q_{1}, …, q_{l} ∈ Q mit s := ξ(q_{0}, (q_{1}, …, q_{l}).z) ≠ 0 und s ∈ Sq(Q_{∗}) = F 1_{Q}, also gilt φ(q ⊕ z) = e, mit dem (unter Verwendung der Bezeichnungen aus Proposition 11.4) wie folgt definierten Endomorphismus

φ := s^{−1} D ξ̂(q_{0} ⊕ 0, ·) D η̂(q_{1} ⊕ 0, ·) ⋯ D η̂(q_{l} ⊕ 0, ·) ∈ M(A).

2. Fall: q ≠ 0.

Das von q erzeugte τ-stabile Ideal in Q bezeichnen wir mit I := M_{τ}(Q) q (vgl. 11.5). Dann ist eine der Bedingungen (i) oder (ii) aus (C) erfüllt.

(i): Es gibt x ∈ I und z′ ∈ Z mit s_{0} := ξ(x, z′) ≠ 0. Wähle ψ_{0} ∈ M_{τ}(Q) mit x = ψ_{0}(q). Dann ist e = φ_{0}(q ⊕ z) für

φ_{0} := s_{0}^{−1} D ξ̂(·, 0 ⊕ z′) (ψ_{0} ⊕ O) ∈ M(A) nach 11.5 (3).

(ii): Die folgenden drei Möglichkeiten kommen in Betracht.

• Es gibt x_{1} ∈ I und z′_{1} ∈ Z mit z_{1} := η(x_{1}, z′_{1}) ≠ 0. Wähle ein ψ_{1} ∈ M_{τ}(Q) mit x_{1} = ψ_{1}(q). Dann haben wir

φ_{1} := D η̂(·, 0 ⊕ z′_{1}) (ψ_{1} ⊕ O) ∈ M(A)

und 0 ⊕ z_{1} = φ_{1}(q ⊕ z). Durch Anwendung des obigen 1. Falles finden wir ein φ′_{1} ∈ M(A) mit e = φ′_{1}(0 ⊕ z_{1}) = φ(q ⊕ z), für φ := φ′_{1} φ_{1} ∈ M(A).

• Es gibt x_{2} ∈ I und q′_{2} ∈ Q mit z_{2} := ζ(x_{2}, q′_{2}) ≠ 0. Wähle ein ψ_{2} ∈ M_{τ}(Q) mit x_{2} = ψ_{2}(q). Dann haben wir

φ_{2} := ζ̂(·, q′_{2} ⊕ 0) (ψ_{2} ⊕ O) ∈ M(A)

und 0 ⊕ z_{2} = φ_{2}(q ⊕ z). Anwendung des 1. Falles liefert auch hier die Behauptung.

• Es gibt q_{3} ∈ Q und x′_{3} ∈ I mit z_{3} := ζ(q_{3}, x′_{3}) ≠ 0. Auch hier kann ähnlich wie in den vorigen Punkten argumentiert

werden. □

12.8 Nicht einfache quadratische Algebra

12.8 Hinweis (Nicht einfache quadratische Algebra) Eine semiquadratische Algebra der Form Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] kann einfach sein, auch wenn Q echte von Null verschiedene τ-stabile Ideale besitzt.

Sei dazu Q := F [ε], die Algebra der dualen Zahlen über einem Körper F (vgl. 2.3 (5)), in der F ε ein τ-stabiles Ideal ist. Mit Z := F, S := F 1_{Q}, ξ : Q × Z ⟶ S, ξ(q, z) := β(q, z) 1_{Q}, wobei β(r 1_{Q} + s ε, t) := s · t und η(r 1_{Q} + s ε, t) := r · t für alle r, s, t ∈ F (sowie ζ = 0), betrachten wir die Annullatorerweiterung A := Q_{∗}[Z, ξ, η, 0]. Dann ist A eine semiquadratische Algebra mit Basis e, ε_{1}, ε_{2} für e := 1_{Q} ⊕ 0, ε_{1} := ε ⊕ 0 und ε_{2} := 0 ⊕ 1_{F}, wobei e Linkseinselement von A ist und die folgenden Gleichungen gelten ε_{1} ∗ e = −ε_{1}, ε_{1} ∗ ε_{1} = 0, ε_{1} ∗ ε_{2} = e, ε_{2} ∗ x = 0 für alle x ∈ A. Nach dem Einfachheitskriterium 12.7 ist A einfach, da (A) erfüllt ist, weil ξ(ε, t) = t 1_{Q} für alle t ∈ F gilt, und (B) erfüllt ist, weil für q = r 1_{Q} + s ε ∈ Q mit q ≠ 0 stets ξ(r 1_{Q} + s ε, 1_{F}) = s e ≠ 0 oder η(r 1_{Q} + s ε, 1_{F}) = r ≠ 0 gilt.

12.9 Spezialfälle (Einfachheitsbedingungen) Sei F ein Körper.

(1) Die Bedingung (A) aus dem Einfachheitskriterium 12.7 ist jedenfalls dann erfüllt, wenn ξ von Null verschieden ist und für jedes z ∈ Z ∖ {0} gilt Q.z = Z.

Falls die Abbildung Q ⟶ Abb(Z, Q), q ↦ ξ(q, ·) für jedes q ∈ Q injektiv ist, gilt (A), ohne dass eine Forderung an die durch η induzierte Operation von Q auf Z zu stellen wäre.

(2) Die Bedingung (B) aus dem Einfachheitskriterium 12.7 ist jedenfalls dann erfüllt, wenn mindestens eine der Abbildungen ξ, η, ζ von Null verschieden ist, und Q sich als das einzige τ-stabile Ideal in Q erweist, das von Null verschieden ist. Letzteres ist sicherlich gewährleistet, falls die quadratische Algebra Q einfach ist, da ja Q in diesem Fall bereits das einzige von Null verschiedene Ideal in Q ist.

Zusammenfassung (Einfache semiquadratische Algebren)

Zunächst konnten wir feststellen, dass einfache semiquadratische Algebren im Falle Sq(A)∗A ≠ {0} ein Linkseinselement besitzen (vgl. Proposition 12.5). Als Hauptresultat dieser Arbeit erlaubt es das Einfachheitskriterium 12.7 viele einfache semiquadratische Algebren mit Linkseinselement zu konstruieren. Dieses Ergebnis wird nun noch etwas ausführlicher diskutiert.

Diskussion

Die in dieser Arbeit eingeführte und untersuchte Klasse der semiquadratischen Algebren enthält viele einfache Algebren mit Linkseinselement.

Ausgehen können wir dabei von einer einfachen quadratischen Algebra Q beliebiger Dimension d. Für d ≧ 3 sind beispielsweise die quadratischen Algebren Q_{e}(X, ϑ) mit Basispunkt e und symmetrischer Bilinearform ϑ, aus 2.7 (1) einfach, wenn ϑ nichtausgeartet ist (siehe [BrKoe66] Kap. VI § 5 Satz 5.7, Seite 197), das heißt wenn ϑ(x, Q) = {0} nur mit x = 0 gilt. Für die linkskonjugierte Algebra Q_{∗} einer solchen einfachen quadratischen Algebra Q können wir eine Annullatorerweiterung mit einem linksunitären Erweiterungsannullator Z, ξ, η, ζ vornehmen und erhalten eine linksunitäre semiquadratische Algebra A := Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ]. Das Einfachheitskriterium (Satz 12.7) gibt zwei Bedingungen (A) und (B) an, deren Vorliegen garantiert, dass A einfach ist. (Sind diese Bedingungen erfüllt, so ist A := Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ] als S_{1}(A)-Algebra zentral-einfach nach 12.5, falls der Grundkörper F von Charakteristik ungleich 2 ist, das heißt wenn 1_{F} + 1_{F} ≠ 0 gilt.) Die Bedingung (B) ist wegen der Einfachheit von Q automatisch erfüllt, wenn mindestens eine der bilinearen Abbildungen ξ, η, ζ von Null verschieden ist. Wir wenden uns nun der Bedingung (A) zu. Ist 1_{Q}, b_{1}, …, b_{ℓ} eine Basis von Q (also d = ℓ + 1), und sind φ_{1}, …, φ_{ℓ} ∈ End_{F} (Z) gegeben, so können wir η(b_{j}, ·) = φ_{j} für 1 ≦ j ≦ ℓ wählen (wegen Linksunitarität ist η(1_{Q}, ·) = Id_{Z}). Die zu (A) gleichwertige Bedingung (A′) aus dem Beweis von Satz 12.7 ist dann erfüllt, wenn für jedes z ∈ Z ∖ {0} die Menge ξ(Q, F [φ_{1}, …, φ_{ℓ}] z) von Null verschieden ist. Durch Übergang zur Matrizendarstellung linearer und bilinearer Abbildungen wird deutlich, wie leicht es für endlich-dimensionales Z ist, Endomorphismen φ_{1}, …, φ_{ℓ} und eine Bilineareform β zu konstruieren, für die Bedingung (A′) erfüllt ist mit ξ(q, z) := β(q, z) 1_{Q} für alle q ∈ Q, z ∈ Z.

Die Klasse der semiquadratischen Algebren hat sich somit als eine beachtenswerte Quelle einfacher nicht-assoziativer Algebren erwiesen.

A Algebren

In dieser Arbeit betrachten wir Algebren, in denen das Assoziativgesetz für die Multiplikation nicht zu gelten braucht. Hier werden die Grundbegriffe aus der Theorie der nicht notwendig assoziativen Algebren bereitgestellt.

Wie auch sonst in dieser Arbeit nehmen wir an, dass Ringe R immer ein Einselement besitzen und dass R-Moduln stets unitär sind.

A.1 Nicht-assoziative Algebren Sei R ein kommutativer Ring. Eine (nicht notwendig assoziative, kurz nicht-assoziative) R-Algebra ist ein R-Modul A, der mit einer (als Multiplikation bezeichneten) R-bilinearen Abbildung μ_{A} : A × A ⟶ A versehen ist. Es gilt also

(Alg1) (x + x′) ∗ y = x ∗ y + x′ ∗ y für alle x, x′, y ∈ A,

(Alg2) x ∗ (y + y′) = x ∗ y + x ∗ y′ für alle x, y, y′ ∈ A,

(Alg3) r(x ∗ y) = (r x) ∗ x = x ∗ (r y) für alle r ∈ R, x, y ∈ A.

Statt μ_{A}(x, y) werden wir meist x · y oder x ∗ y schreiben.

A.2 Kommutativität, Assoziativität Sei R ein kommutativer Ring und A eine R-Algebra mit Multiplikation ∗.

Dann heißt A kommutativ, wenn gilt

(Komm) x ∗ y = y ∗ x für alle x, y ∈ A

und A heißt assoziativ, wenn gilt

(Ass) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) für alle x, y, z ∈ A.

Da diese Identitäten in jeder Variable linear sind, genügt es, den Nachweis für die Elemente eines Erzeugendensystems zu erbringen (also Elemente einer Teilmenge E von A mit Lin_{R}(E) = A).

Von einer kommutativ-assoziativen Algebra wollen wir dann sprechen, wenn sowohl (Komm) als auch (Ass) erfüllt sind.

Abweichungen von der Kommutativität (Assoziativität) zeigen sich im Vorhandensein von Kommutatoren [x, y] := x∗y−y∗x ungleich 0_{A} (bzw. von Assoziatoren [x, y, z] := (x ∗ y) ∗ z − x ∗ (y ∗ z) ungleich 0_{A}). Eine R-Algebra ist also genau dann kommutativ (assoziativ), wenn alle ihre Kommutatoren (bzw. alle Assoziatoren) verschwinden.

Anhang A

A.3 Einselemente Sei R ein kommutativer Ring und A eine R-Algebra mit Multiplikation ∗.

Ein bezüglich ∗ neutrales Element wird als Einselement von A bezeichnet, das heißt e ist genau dann Einselement von A, wenn e ∗ x = x ∗ e = e für alle x ∈ A gilt. Gilt für alle x ∈ A nur e ∗ x = x (oder x ∗ e = x), so wird e als Linkseinselement (beziehungsweise Rechtseinselement) von A bezeichnet.

Eine R-Algebra wird unitär genannt, falls sie ein Einselement besitzt. In diesem Fall wird für das (eindeutig bestimmte) Einselement von A oft die Bezeichnung 1_{A} verwendet. Allgemeiner könnte man von einer linksunitären (rechtsunitären) Algebra A sprechen, falls in A ein Linkseinselement (beziehungsweise ein Rechtseinselement) existiert.

Jede R-Algebra lässt sich in eine unitäre R-Algebra einbetten, nämlich in die Dorrohsche Oberalgebra, den R-Modul R⊕A versehen mit Multiplikation (r ⊕ a) ∗ (r′ ⊕ a′) := (r · r′, r a′ + r′ a + a ∗ a′) für alle r, r′ ∈ R, a, a′ ∈ A.

A.4 Entgegengesetzte Algebra Sei R ein kommutativer Ring.

Wird in einer R-Algebra A die Multiplikation μ_{A} durch die entgegengesetzte Multiplikation μ_{A}^{op} ersetzt, wobei μ_{A}^{op}(x, y) := μ_{A}(y, x) für x, y ∈ A gesetzt wird, so ergibt sich wiederum eine R-Algebra, die entgegengesetzte Algebra A^{op}, mit Multiplikation μ_{A^{op}}(x, y) = μ_{A}(y, x) für alle x, y ∈ A.

Genau dann ist A^{op} kommutativ (assoziativ) wenn A kommutativ (bzw. assoziativ) ist. Die (Links-/Rechts-)Einselemente von A^{op} sind gerade die (Rechts-/Links-)Einselemente von A.

A.5 Verknüpfung von Teilmengen Sei R ein Ring und X ein R-Modul.

Die Summe der Teilmengen V_{1} und V_{2} von X wird definiert durch

V_{1} + V_{2} := { v_{1} + v_{2} | v_{1} ∈ V_{1}, v_{2} ∈ V_{2} }.

Sind V_{1} und V_{2} additiv abgeschlossen (das heißt ℤ-Untermoduln von X), so ist das auch für V_{1} + V_{2} der Fall.

Seien nun R-Moduln X, Y, Z gegeben, f : X × Y ⟶ Z eine R-bilineare Abbildung und V ⊂ X, W ⊂ Y Teilmengen.Im Gegensatz zur soeben besprochenen Situation braucht dann f[V ×W] , das Bild des kartesischen Produktes von V und W unter f, nicht additiv abgeschlossen zu sein, selbst wenn V und W es sind. Daher bezeichnen wir mit f(V, W) die kleinste additiv abgeschlossenen Teilmenge von Z, die f[V ×W] enthält:

A.6 Teilalgebren

f(V, W) := { ∑_{k=1}^{m} f(v_{k}, w_{k}) | v_{k} ∈ V, w_{k} ∈ W für alle 1 ≦ k ≦ m, m ∈ ℕ }.

Insbesondere haben wir das skalare Vielfache für T ⊂ R und W ⊂ Y

T W = { ∑_{k=1}^{m} t_{k} w_{k} | t_{k} ∈ P, w_{k} ∈ W für alle 1 ≦ k ≦ m, m ∈ ℕ }.

Speziell für T = R ist R W also die lineare Hülle von W in Y, der kleinste W enthaltende Untermodul: R W = Lin_{R}(W).

Weiterhin erhalten wir für Teilmengen U und U′ einer R-Algebra Amit Multiplikation ∗ das Produkt

U ∗ U′ = { ∑_{k=1}^{m} u_{k} ∗ u′_{k} | u_{k}, u′_{k} ∈ V für alle 1 ≦ k ≦ m, m ∈ ℕ }.

Wird das Produkt der Algebra mit dem Multiplikationspunkt · statt mit ∗ bezeichnet, so schreiben wir das obige Produkt natürlich in der Form U · U′.

Bei einelementigen Teilmengen {x} oder {y} (x ∈ X, y ∈ Y) tritt die oben geschilderte Schwierigkeit nicht auf, wir notieren daher einfach x + V′, f(x, W) und f(V, y) statt {x} + V′, f[{x}×W] bzw. f[V ×{y}], das heißt für r ∈ R, W ⊂ Y und für T ⊂ R, y ∈ Y gilt

\begin{aligned}r W & = & \{ r w | w ∈ W \}, \\ T y & = & \{ t y | t ∈ T \}, \end{aligned}

und für a, a′ ∈ A, U, U′ ⊂ A ergeben sich

\begin{aligned}a ∗ U′ & = & \{ a ∗ u | u ∈ U′ \}, \\ U ∗ a′ & = & \{ u ∗ a′ | u ∈ U \}. \end{aligned}

A.6 Teilalgebren Sei R ein kommutativer Ring und A eine R-Algebra mit Multiplikation ∗.

Ein Untermodul B von A heißt Teilalgebra von A, wenn B ∗ B ⊆ B gilt. Besitzt A ein Einselement 1_{A}, so wird eine Teilalgebra B von A unitär genannt, falls 1_{A} ∈ B gilt.

Sei A eine assoziative R-Algebra und U eine Teilmenge von A. Dann ist

Env(U) := Lin_{R}({ u_{1} ∗ ⋯ ∗ u_{l} | u_{1}, …, u_{l} ∈ U, l ≧ 1 })

die von U erzeugte Teilalgebra von A (einhüllende Algebra).

Ist A eine assoziative unitäre R-Algebra, B eine unitäre Teilalgebra von A und U eine Teilmenge von A, so bezeichne

B[U] := Env(B + R U)

die aus B durch Adjunktion von U erzeugte unitäre Teilalgebra von A. Die Elemente von B[U] sind also Linearkombinationen endlicher Produkte von

Elementen der Form b + ∑_{j=1}^{m} r_{j} u_{j} mit b ∈ B, r_{1}, …, r_{m} ∈ R, u_{1}, …, u_{m} ∈ U,

m ≧ 1. Ist U = {a_{1}, …, a_{k}} endlich, so setzen wir

B[a_{1}, …, a_{k}] := B[{a_{1}, …, a_{k}}].

Ist speziell B = R 1_{A}, so schreiben wir kurz R[U] (oder R[a_{1}, …, a_{k}]) für R 1_{A}[U] (beziehungsweise für R 1_{A}[a_{1}, …, a_{k}]), die durch die Teilmenge U (beziehungsweise durch die Elemente a_{1}, …, a_{k}) erzeugte unitäre Teilalgebra.

A.7 Multiplikationsalgebra Sei R ein kommutativer Ring und A eine beliebige R-Algebra.

Die assoziative unitäre Multiplikationsalgebra ist die durch die Links- und Rechtsmultiplikationen L_{a}, R_{b} ∈ End_{R}(A) mit a, b ∈ A erzeugte unitäre Teilagebra der R-Algebra End_{R}(A), also

M(A) := R[{ L_{a} + R_{b} | a, b ∈ A }].

Dann ist A ein M(A)-Modul mit φ x = φ(x) für alle φ ∈ M(A), x ∈ A.

A.8 Ideale Sei R ein kommutativer Ring und A eine R-Algebra.

Dann wird eine Teilalgebra I von A als Linksideal (Rechtssideal) bezeichnet, wenn A ∗ I ⊆ I gilt (beziehungsweise I ∗ A ⊆ I). Sind beide Bedingungen erfüllt, so wird I als Ideal in A bezeichnet. Wenn es sich dabei um einen R-Untermodul von A handelt, so sprechen wir von einem R-Ideal. Die R-Ideale in A sind gerade die M(A)-Untermoduln, vgl. A.7.

A.9 Algebren-Homomorphismen Sei R ein kommutativer Ring und A, A′ seien R-Algebren.

Dann wird eine R-lineare Abbildung h : A ⟶ A′ als R-Algebren-Homo-morphismus (oder R-Algebren-anti-Homomorphismus) bezeichnet, wenn für alle a, b ∈ A gilt h(a∗b) = h(a)∗h(b) (beziehungsweise h(a∗b) = h(b)∗h(a)).

Unter einem R-Algebren-Isomorphismus wird ein bijektiver R-Algebren-Homomorphismus verstanden.

B Bemerkungen zum konstruktiven Ansatz

Der hier gewählte konstruktive Zugang zu einer Theorie der semiquadratischen Algebren soll sicherstellen, dass theoretische Vorhersagen auch stets zu berechenbaren Ergebnissen führen. So wird in Beweisen nach Möglichkeit darauf verzichtet, das Auswahlaxiom oder das logische Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten zu verwenden, da anderenfalls Aussagen, die Berechnungsvorschriften für die vorkommenden Daten enthalten, nicht mehr von solchen Aussagen unterschieden werden könnten, für die Berechenbarkeit nicht zu erwarten ist. (Fred Richman macht in [Ri90] deutlich, dass bei Annahme der allgemeinen Gültigkeit des logischen Gesetzes vom ausgeschlossenen Dritten — englisch law of excluded middle (LEM) — keine Berechenbarkeit mehr gewährleistet ist.)

Ob die Darstellung in dieser Arbeit noch konstruktive Lücken aufweist, ließe sich durch Formalisierung in konstruktivem Rahmen feststellen, etwa in Martin-Löfs Typentheorie (vgl. [ML84] und [NoPeSm90]) oder einem Computersystem wie ALF ([MaNo94]), Moscow ML ([RoRuSe1], [RoRuSe2]) oder Isabelle ([Pa94]). Eine derartige Formalisierung würde den Rahmen dieser Dissertation sprengen.

Ausführlichere Darstellungen der konstruktiven Mathematik finden sich bei Beeson, der in [Be85] eine allgemeine Übersicht gibt, bei Bridges und Richman, die in [BrRi87] verschiedene konstruktive Richtungen vergleichen, bei Bishop und Bridges zur konstruktiven Analysis (cf. [BiBr85]), sowie bei Mines, Richman und Ruitenburg zur konstruktiven Algebra (cf. [MiRiRu88]).

C Computerberechnungen mit Albert

C.1 Eine Beispielsitzung mit Albert

Das nach A. Adrian Albert benannte Computerprogramm Albert kann Berechnungen in nicht-assoziativen Algebren durchführen (cf. [JaMuOf92], der Algorithmus wird in [HeJa91] beschrieben). Nach Aufruf des (in der Programmiersprache C geschriebenen) Programmes Albert mit dem Befehl

     albert

könnte sich folgende Beispielsitzung ergeben (unter dem Betriebssystem UNIX auf dem FernUni-Rechner bonsai).

         ((Albert)), Version 3.0, 1994
Dept. of Computer Science, Clemson University

Dimension Limit: 500.
Using /export/home/rosemei/Albert/Albertsource/.albert
Type h for help.

-->identity (xx)(yz) - ((xx)y)z
     (xx)(yz)  -   ((xx)y)z
Entered as identity 1.

-->identity (xx)(yz) - y((xx)z)
     (xx)(yz)  -   y((xx)z)
Entered as identity 2.

-->generators 10a
Problem type stored.

C.1 Eine Beispielsitzung mit Albert

-->build
Building the Multiplication Table.
Build begun at Thu Feb 28 10:26:39 2002
Degree    Current Dimension   Elapsed Time(in seconds)
1                1                0
2                2                0
3                4                0
4                7                0
5               12                0
6               19                0
7               30                0
8               45                0
9               67                1
10               97                2
Build completed. Last Matrix 3.43% dense.

-->display
Defining identities are:
1. (xx)(yz)-((xx)y)z
2. (xx)(yz)-y((xx)z)
Field = 251.
Using Sparse matrix structure.
Problem type = [10a]; Total degree = 10.
Multiplication table present.
-->view b
Basis Table:
1.     0   0   1    a
2.     1   1   2    (aa)
3.     1   2   3    (a(aa))
4.     2   1   3    ((aa)a)
5.     4   1   4    (((aa)a)a)
6.     1   3   4    (a(a(aa)))
7.     3   1   4    ((a(aa))a)
8.     4   2   5    (((aa)a)(aa))

Anhang C

 9.     5   1   5    ((((aa)a)a)a)
10.     7   1   5    (((a(aa))a)a)
11.     1   6   5    (a(a(a(aa))))
12.     6   1   5    ((a(a(aa)))a)
13.     4   3   6    (((aa)a)(a(aa)))
14.     7   2   6    (((a(aa))a)(aa))
15.     9   1   6    (((((aa)a)a)a)a)
16.    10   1   6    ((((a(aa))a)a)a)
17.    12   1   6    (((a(a(aa)))a)a)
18.     1  11   6    (a(a(a(a(aa)))))
19.    11   1   6    ((a(a(a(aa))))a)
20.     4   6   7    (((aa)a)(a(a(aa))))
21.     7   3   7    (((a(aa))a)(a(aa)))
22.    10   2   7    ((((a(aa))a)a)(aa))
23.    12   2   7    (((a(a(aa)))a)(aa))
24.    14   1   7    ((((a(aa))a)(aa))a)
25.    15   1   7    ((((((aa)a)a)a)a)a)
26.    16   1   7    (((((a(aa))a)a)a)a)
27.    17   1   7    ((((a(a(aa)))a)a)a)
28.    19   1   7    (((a(a(a(aa))))a)a)
29.     1  18   7    (a(a(a(a(a(aa))))))
30.    18   1   7    ((a(a(a(a(aa)))))a)
31.     4  11   8    (((aa)a)(a(a(a(aa)))))
32.     7   6   8    (((a(aa))a)(a(a(aa))))
33.    10   3   8    ((((a(aa))a)a)(a(aa)))
34.    12   3   8    (((a(a(aa)))a)(a(aa)))
35.    17   2   8    ((((a(a(aa)))a)a)(aa))
36.    19   2   8    (((a(a(a(aa))))a)(aa))
37.    23   1   8    ((((a(a(aa)))a)(aa))a)
38.    24   1   8    (((((a(aa))a)(aa))a)a)
39.    25   1   8    (((((((aa)a)a)a)a)a)a)
40.    26   1   8    ((((((a(aa))a)a)a)a)a)
41.    27   1   8    (((((a(a(aa)))a)a)a)a)
42.    28   1   8    ((((a(a(a(aa))))a)a)a)
43.    30   1   8    (((a(a(a(a(aa)))))a)a)
44.     1  29   8    (a(a(a(a(a(a(aa)))))))
45.    29   1   8    ((a(a(a(a(a(aa))))))a)
46.     4  18   9    (((aa)a)(a(a(a(a(aa))))))
47.     7  11   9    (((a(aa))a)(a(a(a(aa)))))
48.    10   6   9    ((((a(aa))a)a)(a(a(aa))))
49.    12   6   9    (((a(a(aa)))a)(a(a(aa))))

50.    17   3   9    ((((a(a(aa)))a)a)(a(aa)))
51.    19   3   9    (((a(a(a(aa))))a)(a(aa)))
52.    24   2   9    (((((a(aa))a)(aa))a)(aa))
53.    26   2   9    ((((((a(aa))a)a)a)a)(aa))
54.    28   2   9    ((((a(a(a(aa))))a)a)(aa))
55.    30   2   9    (((a(a(a(a(aa)))))a)(aa))
56.    34   1   9    ((((a(a(aa)))a)(a(aa)))a)
57.    36   1   9    ((((a(a(a(aa))))a)(aa))a)
58.    37   1   9    (((((a(a(aa)))a)(aa))a)a)
59.    38   1   9    ((((((a(aa))a)(aa))a)a)a)
60.    39   1   9    ((((((((aa)a)a)a)a)a)a)a)
61.    40   1   9    (((((((a(aa))a)a)a)a)a)a)
62.    41   1   9    ((((((a(a(aa)))a)a)a)a)a)
63.    42   1   9    (((((a(a(a(aa))))a)a)a)a)
64.    43   1   9    ((((a(a(a(a(aa)))))a)a)a)
65.    45   1   9    (((a(a(a(a(a(aa))))))a)a)
66.     1  44   9    (a(a(a(a(a(a(a(aa))))))))
67.    44   1   9    ((a(a(a(a(a(a(aa)))))))a)
68.     4  29   10    (((aa)a)(a(a(a(a(a(aa)))))))
69.     7  18   10    (((a(aa))a)(a(a(a(a(aa))))))
70.    10  11   10    ((((a(aa))a)a)(a(a(a(aa)))))
71.    12  11   10    (((a(a(aa)))a)(a(a(a(aa)))))
72.    17   6   10    ((((a(a(aa)))a)a)(a(a(aa))))
73.    19   6   10    (((a(a(a(aa))))a)(a(a(aa))))
74.    24   3   10    (((((a(aa))a)(aa))a)(a(aa)))
75.    26   3   10    ((((((a(aa))a)a)a)a)(a(aa)))
76.    28   3   10    ((((a(a(a(aa))))a)a)(a(aa)))
77.    30   3   10    (((a(a(a(a(aa)))))a)(a(aa)))
78.    37   2   10    (((((a(a(aa)))a)(aa))a)(aa))
79.    41   2   10    ((((((a(a(aa)))a)a)a)a)(aa))
80.    43   2   10    ((((a(a(a(a(aa)))))a)a)(aa))
81.    45   2   10    (((a(a(a(a(a(aa))))))a)(aa))
82.    51   1   10    ((((a(a(a(aa))))a)(a(aa)))a)
83.    52   1   10    ((((((a(aa))a)(aa))a)(aa))a)
84.    55   1   10    ((((a(a(a(a(aa)))))a)(aa))a)
85.    56   1   10    (((((a(a(aa)))a)(a(aa)))a)a)
86.    57   1   10    (((((a(a(a(aa))))a)(aa))a)a)
87.    58   1   10    ((((((a(a(aa)))a)(aa))a)a)a)
88.    59   1   10    (((((((a(aa))a)(aa))a)a)a)a)
89.    60   1   10    (((((((((aa)a)a)a)a)a)a)a)a)
90.    61   1   10    ((((((((a(aa))a)a)a)a)a)a)a)

  91.    62   1   10    (((((((a(a(aa)))a)a)a)a)a)a)
  92.    63   1   10    ((((((a(a(a(aa))))a)a)a)a)a)
  93.    64   1   10    (((((a(a(a(a(aa)))))a)a)a)a)
  94.    65   1   10    ((((a(a(a(a(a(aa))))))a)a)a)
  95.    67   1   10    (((a(a(a(a(a(a(aa)))))))a)a)
  96.     1  66   10    (a(a(a(a(a(a(a(a(aa)))))))))
  97.    66   1   10    ((a(a(a(a(a(a(a(aa))))))))a)

-->quit

C.2 Erläuterung der Albert-Sitzung

Mit Hilfe des Befehls identity wurden die beiden semiquadratischen Identitäten (SQ1) und (SQ2) eingegeben. Durch den Befehl generators wird Art und Anzahl der Erzeugenden festgelegt. In unserem Fall ist a das einzige Erzeugende, das bis zu 10-mal auftreten darf. (Ebenso würde generators 2a4b3c die drei Erzeugenden a, b und c einführen, wobei a höchstens 2-mal, b höchstens 4-mal, und c höchstens 3-mal vorkommen dürfte. In diesem Fall hätten wir also Berechnungen mit bis zu 9 Exemplaren dieser drei Erzeugenden gestattet.) Mit dem Befehl build bekommt Albert die Anweisung, die entsprechende Multiplikationstabelle zu berechnen. Nachdem mit display die Korrektheit der Eingabe kontrolliert wurde, wird mit view b die zuvor berechnete Multiplikationstabelle in Basisform ausgegeben. (Mit view m erhielte man die Darstellung als Multiplikationstafel.) Schließlich beendet quit unsere kleine Sitzung mit Albert.

C.3 Interpretation des Ergebnisses der Albert-Sitzung

Die obige Albert-Sitzung führte zu Berechnungen in der freien semiquadratischen Algebra mit einem Erzeugenden a über dem Körper 𝔽_{251}. (251 ist die kleinste Primzahl unter 256 = 2^{8}, die nächste wäre 257. Es ist auch möglich Albert dazu zu bewegen über 𝔽_{p} = ℤ/p ℤ mit einer kleineren Primzahl p zu rechen.) Dabei wurden Produkte mit bis zu zehn Faktoren a berücksichtigt. Die oben wiedergegebene Basistabelle zeigt eine Basis des Untervektorraums aller (nicht-assoziativen) a-Potenzen bis zum Grad 10. Da die Basiselemente nach wachsendem Grad geordnet sind, können auch die Basen der entsprechenden Unterräume U_{k}, die von allen Potenzen vom Grad k erzeugt sind, abgelesen werden (1 ≦ k ≦ 10). Für d_{k} := dim U_{k} ergeben sich folgende Werte

C.3 Interpretation des Ergebnisses der Albert-Sitzung

d_{1} = 1
d_{2} = 1
d_{3} = 2
d_{4} = 3
d_{5} = 5
d_{6} = 7
d_{7} = 11
d_{8} = 15
d_{9} = 22
d_{10} = 30.

Ein Blick in die Enzyklopädie der ganzzahligen Folgen von Sloane,Plouffe oder eine e-Mail der Form

lookup 1 1 2 3 5 7 11 15 22 30

an superseeker@research.att.com führt zu der Erkenntnis, dass diese Werte mit den ersten zehn Gliedern der Folge der Partitionszahlen (p_{k})_{k≧1} übereinstimmt (Folge M0663 in [SlPl95]). Weitere Berechnungen mit Albert haben gezeigt, dass diese Übereinstimmung bis k = 17 erhalten bleibt, da d_{11} = 42, d_{12} = 56, d_{13} = 77, d_{14} = 101, d_{15} = 135, d_{16} = 176, d_{17} = 231. Die semiquadratische Partitionszahl-Vermutung, dass d_{k} = p_{k−1} für alle k ≧ 1 gilt, ist meines Wissens weder bewiesen noch wiederlegt.

D DIN-Standardnotationen

Wir verwenden in dieser Arbeit die folgenden (in [DIN 5473] empfohlenen) Standardbezeichnungen ohne weiteren Hinweis.

D.1 Mengen

a ∈ A  a ist Element von A  [DIN 5473, 4.1]
a ∉ A  a ist nicht Element von A  [DIN 5473, 4.2]
{ x ∈ A | φ(x) } Menge aller x aus A mit φ(x)  [DIN 5473, 4.3]
{ τ(x_{1}, …, x_{n}) | φ(x_{1}, …, x_{n}) }  [DIN 5473, 4.4]

Menge aller τ(x_{1}, …, x_{n}) mit φ(x_{1}, …, x_{n})

{a_{1}, …, a_{n}}  Menge mit den Elementen a_{1}, …, a_{n} [DIN 5473, 4.5]
∅ leere Menge [DIN 5473, 4.6]
A ⊆ B oder A ⊂ B,  [DIN 5473, 4.7]
B ⊇ A  A ist Teilmenge von B
A ⫋ B  A ist echte Teilmenge von B  [DIN 5473, 4.8]
A ∩ B  A geschnitten mit B,  [DIN 5473, 4.9]

Durchschnitt von A und B

A ∪ B A vereinigt mit B, [DIN 5473, 4.10]

Vereinigung von A und B

A ∖ B A ohne B, [DIN 5473, 4.11]

relatives Komplement von B bzgl. A

A × B A Kreuz B, [DIN 5473, 6.5]

(kartesisches) Produkt von A und B

D.2 Standard-Zahlenmengen

ℕ Menge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2,… [DIN 5473, 5.1]
ℤ Menge der ganzen Zahlen  [DIN 5473, 5.2]
ℚ Menge der rationalen Zahlen  [DIN 5473, 5.3]
ℝ Menge der rellen Zahlen  [DIN 5473, 5.4]
ℂ Menge der komplexen Zahlen  [DIN 5473, 5.5]

D.3 Abbildungen

f : A ⟶ B f ist Abbildung von A in B  [DIN 5473, 7.7]
f(a)  f angewendet auf a (Funktionswert) [DIN 5473, 7.4]
x ↦ a(x)  Funktion, die x auf a(x) abbildet  [DIN 5473, 7.12]

E Erläutertes Symbolverzeichnis

Wir unterteilen die hier erläuterten Zeichen in folgende drei Gruppen:

Sonderzeichen wie +, −, ·, :, ∗,
Zahlen  wie 1, 2, \frac{1}{2},
Buchstaben  wie D, n, Q_{∗}, S̃(A), X_{0}[ϑ_{0}, μ_{0}],
Abb(X, Y), Mat_{ℓ}(R), Sq_{0}(A), Qu_{R}(X, Y),
(K1), (Q′), (QΣ),
α, β_{M}, Δ^{∗}, μ_{A}(x, y).

Es folgt jeweils eine kurze Erklärung zu jeder Bezeichnung sowie die Angabe der Seite, auf der sie eingeführt wird.

Sonderzeichen

() leere Folge 60

(x_{1}, …, x_{l}) (x′_{1}, …, x′_{m})

Verknüpfung zweier endlicher Folgen (Aneinanderreihung)  61
∅  leere Menge  82
A ∩ B  Durchschnitt der Mengen A und B  82
A ∪ B  Vereinigung der Mengen A und B  82
A ∖ B  relatives Komplement der Mengen B bzgl. A  82
A ⊆ B  A ist Teilmenge der Menge B  82
A ⫋ B  A ist echte Teilmenge der Menge B  82
B ⊇ A  A ist Teilmenge der Menge B  82
a ∈ A  a ist Element der Menge A  82
{ x ∈ A | φ(x) } Menge aller x aus A mit φ(x)  82

{ τ(x_{1}, …, x_{n}) | φ(x_{1}, …, x_{n}) }

Menge aller τ(x_{1}, …, x_{n}) mit φ(x_{1}, …, x_{n})  82
{a_{1}, …, a_{n}} Menge mit den Elementen a_{1}, …, a_{n}  82
V_{1} + V_{2} Summe der Teilmengen V_{1}, V_{2} 72
X_{1} ⊕ ⋯ ⊕ X_{m} (innere) direkte Summe von Untermoduln  40
ω.y  Produkt von ω und y (ω ∈ Ω, y ∈ Y)  61
∗  Multiplikation einer (meist semiquadratischen) Algebra  71
x ∗ y  Produkt von x und y in einer (semiquadratischen) Algebra  71
U ∗ U′  Produkt der Teilmengen U, U′  73
·  Multiplikation einer (meist linksquadratischen) Algebra  71
x · y  Produkt von x und y in einer (linksquadratischen) Algebra 71
·_{s}  Multiplikation zu s aus dem quadratischen Kern  33
∘  Komposition von Abbildungen  5
[x, y, z]  Assoziator von x, y und z  71
[x, y]  Kommutator von x und y  71

Anhang E

B[U]  durch Adjunktion erzeugte unitäre Teilalgebra  74
R[Ω]  Algebra des Monoids Ω über dem komm. Ring R  60
R[U]  durch U erzeugte unitäre Teilalgebra  74
h|_{U}  Einschränkung einer Abbildung h auf eine Teilmenge U  7
x ↦ a(x) Funktion, die x auf a(x) abbildet  82
\overline{x}  kanonisch transformiertes Element  16
∞  ein Nilpotenzgrad  36

Zahlen

1_{A}  Einselement einer unitären Algebra A  72
1_{B}  Einselement von B  60
1_{Q}  Einselement einer (nicht-assoziativen) unitären Algebra Q  11
1_{R}  Einselement eines Ringes R  5
2_{R}  Zweielement eines Ringes R (2_{R} = 1_{R} + 1_{R})  7
\frac{1}{2} ∈ R  inverses Element von 2_{R} (\frac{1}{2} = 2_{R}^{−1})  7

Buchstaben

A

A  eine (meist semiquadratische) Algebra (mit Multiplikation ∗) 26
A  eine Quasi-Kompositionsalgebra (in [Pe71])  1
A^{+}(c)  rechtsseitige +-Komponente von A  41
A^{−}(c)  rechtsseitige −-Komponente von A  41
A_{0}^{0}(c)  zweiseitige 0-0-Komponente von A  41
A_{0}^{1}(c)  zweiseitige 0-1-Komponente von A  41
A^{0}(c)  rechtsseitige 0-Komponente von A  40
A_{0}(c)  linksseitige 0-Komponente von A  40
A_{1}^{+}(c)  zweiseitige 1-+-Komponente von A  41
A_{1}^{−}(c)  zweiseitige 1-−-Komponente von A  41
A_{1}^{0}(c)  zweiseitige 1-0-Komponente von A  41
A_{1}^{1}(c)  zweiseitige 1-1-Komponente von A  41
A^{1}(c)  rechtsseitige 1-Komponente von A  40
A_{1}(c)  linksseitige 1-Komponente von A  40
Abb(X, Y) Modul aller Abbildungen von X nach Y  7
a^{k}  die k-te Potenz von a  35
A_{λ}  Algebra zur semiquadr. Algebra A mit Linearform λ  29
(Alg1)  erste Algebrenbedingung (siehe Anh. F)  71
(Alg2)  zweite Algebrenbedingung (siehe Anh. F)  71
(Alg3)  dritte Algebrenbedingung (siehe Anh. F)  71
α  Normparameter einer quadratischen Algebra vom Typ (α, β) 12
\sqrt{α} Basiselement von R[\sqrt{α}] 12

Symbolverzeichnis

AltBil_{R}(X×X, Y)

Modul aller alternierenden bilinearen Abbildungen  7
AltMat_{ℓ}(R) Modul aller alternierenden ℓ×ℓ-Matrizen über R  9
Ann_{A}(c) Annullator von c in A  44
A^{op}  entgegengesetzte Algebra von A  72
A(Q)  antikommutativer Anteil einer quadratischen Algebra Q  21
(Ass)  Assoziativität (siehe Anh. F)  71
A[Z, ξ, η, ζ] Annullatorerweiterung von A um Z, ξ, η, ζ  52

B

B eine assoziative Algebra mit Einselement 60
β  Spurparameter einer quadratischen Algebra vom Typ (α, β) 12
β_{·}  Modul-Isomorphismus Mat_{ℓ,m}(R) ⟶^{∼} Bil_{R}(R^{ℓ}×R^{m}, R)  9
β_{M}  Bilinearform zur Matrix M ∈ Mat_{ℓ}(R)  9

Bil_{R}(X×Y, Z)

Modul aller bilinearen Abbildungen f : X × Y ⟶ Z  7
B[U] durch Adjunktion erzeugte unitäre Teilalgebra 74

C

C  eine Kompositionsalgebra (in [Pe71])  1
c  ein idempotentes Element von A  39
C^{op}  entgegengesetzte Algebra von C  1

D

D  Bilinearisierungsabbildung g ↦ Dg  7
d  Dimension einer einfachen quadratischen Algebra  70
Δ  Diagonalabbildung x ↦ (x, x)  6
Δ^{∗}  Quadraturabbildung f ↦ Δ^{∗}f  7
Δ^{∗}f  Quadratur einer bilinearen Abbildung f  6
Dg  Bilinearisierung einer quadratischen Abbildung g  6

E

e Linkseinselement einer semiquadratischen Algebra 51
End_{R}(X) Endomorphismenring eines R-Linksmoduls X  5
Env_{R}(U) einhüllende Algebra von U  73
e_{ω}  Standardbasiselement der Monoidalgebra R[Ω]  60
e_{Ω}  Einselement der Monoidalgebra R[Ω]  60
ε  Basiselement von R[ε]  12
η  eine S_{1}(A)-bilineare Abbildung (zum Erweiterungsannullator) 51
η_{e} η_{e} : A × Z ⟶ Z, Bilinearform zum Linkseinselement e 51

Anhang E

F

f eine bilineare Abbildung 6
f : A ⟶ B eine Abbildung von A in B  82
f(a)  Anwendung von f : A ⟶ B auf a ∈ A  82
f(V, W)  Verknüpfung von Teilmengen  73
f(x, ·)  Abbildung y ↦ f(x, y)  6
f(·, y)  Abbildung x ↦ f(x, y)  6

G

g  eine quadratische Abbildung  6
Γ(A)  Zentroid von A  33

H

h |_{U} Einschränkung einer Abbildung h auf eine Teilmenge U 7

I

Id  identische Abbildung  5
ι_{A}  Einbettung von Sq(A) in S_{1}(A)  31
I_{Q}(U)  von U ⊕ {0} erzeugtes Ideal in Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ]  62
I_{Z}(V)  von {0} ⊕ V erzeugtes Ideal in Q_{∗}[Z, ξ, η, ζ]  62

J

J Standardinvolution einer Kompositionsalgebra (in [Pe71]) 1

K

k  ein Körper (in [Pe71])  1
(K1)  Unitarität von Konjugationen (siehe Anh. F)  17
(K2)  Normeigenschaft von Konjugationen (siehe Anh. F)  17
K(A)  Kommutatorideal der Algebra A  32
κ  eine Konjugation  17
(Komm) Kommutativität (siehe Anh. F)  71

L

ℓ  eine natürliche Zahl  9
L_{a}  Linksmultiplikation mit a (a ∈ A)  30
x_{λ}· y  Multiplikation zur semiquadr. Algebra A mit Linearform λ 29
Lin_{R}(W) lineare Hülle einer Teilmenge W eines R-Moduls  5
Lin_{R}(x_{1}, …, x_{k}) lineare Hülle von Elementen x_{1}, …, x_{k} ∈ X  5
(LQ)  charakteristische Gleichung linksquadr. Alg. (siehe Anh. F) 22
(LQ′) linearisierte charakteristische Gleichung (siehe Anh. F) 23

Symbolverzeichnis

M

M  eine quadratische Matrix  9
m  eine natürliche Zahl  9
M(A)  Multiplikationsalgebra von A  57
Mat_{ℓ,m}(R) Modul der ℓ×m-Matrizen über R  9
Mat_{ℓ}(R) Ring der ℓ×ℓ-Matrizen über R  9
Mo(X)  freies Monoid zur Menge X  60
M_{τ}(A)  konjugierte Multiplikationsalgebra von A  59
M^{T}  transponierte Matrix von M  9
μ_{0}  eine alternierende bilineare Abbildung auf X_{0}  15
μ_{A}  Multiplikationsabbildung einer (nicht-assoziativen) Algebra A 71
μ_{A}^{op} entgegengesetzte Multiplikation 72
μ_{A}(x, y)  Produkt von x und y in einer (nicht-assoziativen) Algebra A 71
μ_{f} modifizierte quadratische Algebrenstruktur 15

N

n  Normform einer quadratischen Algebra  11
n  Normform einer linksquadratischen Algebra  22
n_{s}  Normform zu s aus dem quadratischen Kern  33

O

O  Nullendomorphismus  5
Ω  ein Monoid  60
ω.y  Produkt von ω und y (ω ∈ Ω, y ∈ Y)  61
A^{op}  entgegengesetzte Algebra von A  72
C^{op}  entgegengesetzte Algebra von C  1
μ_{A}^{op}  entgegengesetzte Multiplikation  72

P

P^{+}(c)  Projektion von A auf A^{+}(c)  41
P^{−}(c)  Projektion von A auf A^{−}(c)  41
P_{0}^{0}(c)  Projektion von A auf A_{0}^{0}(c)  41
P_{0}^{0}(c)  Projektion von A auf A_{0}^{1}(c)  41
P^{0}(c)  Projektion von A auf A^{0}(c)  40
P_{0}(c)  Projektion von A auf A_{0}(c)  40
P_{1}, …, P_{m} Projektionen  40
P_{1}^{+}(c)  Projektion von A auf A_{1}^{+}(c)  41
P_{1}^{−}(c)  Projektion von A auf A_{1}^{−}(c)  41
P_{1}^{0}(c)  Projektion von A auf A_{1}^{0}(c)  41
P_{1}^{1}(c)  Projektion von A auf A_{1}^{1}(c)  41

Anhang E

P^{1}(c)  Projektion von A auf A^{1}(c)  40
P_{1}(c)  Projektion von A auf A_{1}(c)  40
Φ  ein Körper (in [Ja62])  64
ϕ_{h}  Homomorphismus von R [Ω] nach B  60
p_{k}  die k-te Partitionszahl  81
P_{Q}(c)  Projektion von A_{1}(c) auf den quadratischen Anteil Q_{c}(A)  49
pr_{A}  kanonische Projektion von A[Z, ξ, η, mζ] auf A  54
pr_{Z}  kanonische Projektion von A[Z, ξ, η, ζ] auf Z  54
P_{S}  Projektion auf den skalaren Anteil S(Q)  20
ψ  ein Element von M(A)  60
P_{V}  Projektion auf den vektoriellen Anteil V(Q)  20
P_{Z}(c)  Projektion von A_{1}(c) auf den Annullator-Anteil Z_{c}(A)  49

Q

Q eine quadratische Algebra 11
(Q)  charakteristische Gleichung quadr. Algebren (siehe Anh. F) 11
(Q′)  linearisierte charakteristische Gleichung (siehe Anh. F)  13
Q_{∗}  linkskonjugierte Algebra  24
(QA1)  Homogenität quadratischer Abbildungen (siehe Anh. F)  6
(QA2)  Bilinearisierung quadratischer Abbildungen (siehe Anh. F) 6
Q_{(α,β)} quadratische Algebra vom Typ (α, β) 12
(QAΣ)  Summenformel für quadratische Abbildungen (siehe Anh. F) 8
Q_{c}(A) quadratischer Anteil (zu c) einer semiquadr. Algebra A 47
Q_{e}(X, ϑ) quadratische Algebra mit Basispunkt  14
(Q_{τ})  transformierte charakteristische Gleichung (siehe Anh. F) 16
Qu_{R}(X) Modul aller quadratischen Formen auf X  9
Qu_{R}(X, Y) Modul aller quadratischen Abbildungen g : X ⟶ Y  7

R

R ein (stets ass., meist komm.) Ring mit Einselement 5
R[a_{1}, …, a_{k}] von a_{1}, …, a_{k} erzeugte unitäre Teilalgebra  74
R[\sqrt{α}]  reinquadratische Algebra  12
R_{b}  Rechtsmultiplikation mit b (a ∈ A)  30
R[ε]  Algebra der dualen Zahlen  12
R[Ω]  Algebra des Monoids Ω über dem komm. Ring R  60
R[U]  durch U erzeugte unitäre Teilalgebra  74
R[x]  von x erzeugte unitäre Teilalgebra  11

S

S_{1}(A)  quadratischer Multiplikationsring von A  32
S(A)  (quadratisches) Multiplikationsideal von A  33

Symbolverzeichnis

S_{c}(A)  skalarer Anteil (zu c) einer semiquadr. Algebra A  46
S(Q)  skalarer Anteil von Q  20
(SQ)  semiquadratische Identitäten (siehe Anh. F)  30
(SQ1)  erste semiquadratische Identität (siehe Anh. F)  26
(SQ1)  erste Identität in Kompositionsalgebren (siehe Anh. F)  1
(SQ1′)  linearisierte erste semiquadr. Identität (siehe Anh. F)  27
(SQ2)  zweite semiquadratische Identität (siehe Anh. F)  26
(SQ2)  zweite Identität in Kompositionsalgebren (siehe Anh. F)  1
(SQ2′)  linearisierte zweite semiquadr. Identität (siehe Anh. F)  27
(SQ3)  dritte Identität in Kompositionsalgebren (siehe Anh. F)  1
(SQ4)  vierte Identität in Kompositionsalgebren (siehe Anh. F)  1
Sq(A)  quadratischer Kern einer semiquadratischen Algebra A  30
(SQF)  semiquadr. Identität mit quadratischer Form (siehe Anh. F) 28
(SQL)  semiquadr. Identitäten für Linksmultipl. (siehe Anh. F)  30
(SQR)  semiquadr. Identität für Rechtsmultipl. (siehe Anh. F)  30

SymBil_{R}(X×X, Y)

Modul aller symmetrischen bilinearen Abbildungen  7

T

T  eine Teilmenge von R  73
t  Spurform einer quadratischen Algebra  11
t  Spurform einer linksquadratischen Algebra  22
τ  kanonische Transformation  16
ϑ_{0}  eine Bilinearform auf X_{0}  15
M^{T}  transponierte Matrix von M  9
x^{T}  transponierter Vektor von x  9
t_{s}  Spurform zu s aus dem quadratischen Kern  33
T W  skalares Vielfaches von T ⊂ R, W ⊂ X  73

U

U  ein τ-stabiles Ideal in Q  62
U, U′  Teilmengen einer Algebra  73
U ∗ U′  Produkt der Teilmengen U, U′  73

V

V  ein Q-stabiler Untermodul von Z  62
V, V_{1}, V_{2}  Teilmengen eines R-Moduls  72
V_{1} + V_{2}  Summe der Teilmengen V_{1}, V_{2}  72
V_{c}(A)  vektorieller Anteil (zu c) einer semiquadr. Algebra A  48
V(Q)  vektorieller Anteil von Q  20

Anhang E

W

W  Teilmenge einer Annullatorerweiterung  62
W  Teilmenge eines R-Moduls  72

X

X  ein R-(Links-)Modul  6
X_{0}  ein R-Modul  15
X_{0}[ϑ_{0}, μ_{0}] quadratische Algebra zu X_{0}, ϑ_{0}, μ_{0}  15
ξ  eine S_{1}(A)-bilineare Abbildung (zum Erweiterungsannullator) 51
ξ_{e}  ξ_{e} : A × Z ⟶ Sq(A), Bilinearform zum Linkseinselement e 51
X_{λ}  linksquadratische Algebra zur Linearform λ  23
x^{T}  transponierter Vektor von x  9
x · y  Produkt von x und y in einer (linksquadratischen) Algebra 71
x ∗ y  Produkt von x und y in einer (semiquadratischen) Algebra  71
[x, y, z]  Assoziator von x, y und z  71
[x, y]  Kommutator von x und y  71
\overline{x}  kanonisch transformiertes Element  16

Y

Y  ein R-(Links-)Modul  6
Υ  direkte Summenbildung linearer Abbildungen  53

Z

Z  ein R-(Links-)Modul  6
Z  ein S_{1}(A)-Modul (Erweiterungsannullator mit ξ, η, ζ)  51
Z_{0}(c)  die 0-Komponente von Z bezüglich c  53
Z_{1}(c)  die 1-Komponente von Z bezüglich c  53
ζ  eine S_{1}(A)-bilineare Abbildung (zum Erweiterungsannullator) 51
ζ_{e}  ζ_{e} : A × A ⟶ Z, Bilinearform zum Linkseinselement e  51
Z_{U}  Teilmenge von Z zum τ-stabilen Ideal U von Q  62

F Formelverzeichnis

(SQ1)  (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = ((x ∗ x) ∗ y) ∗ z  1
(SQ2)  (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = y ∗ ((x ∗ x) ∗ z)  1
(SQ3)  (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = (z ∗ y) ∗ (x ∗ x)  1
(SQ4)  (x ∗ x) ∗ (y ∗ y) = (x ∗ y) ∗ (x ∗ y)  1
(QA1)  g(rx) = r^{2}g(x)  6
(QA2)  Dg : X × X ⟶ Y, Dg(x, x′) := g(x + x′) − g(x) − g(x′)  6
(QAΣ)  g( ∑_{k=1}^{m} r_{k} x_{k}) = ∑_{k=1}^{m} r_{k}^{2} g(x_{k}) + ∑_{1≦j<k≦m} r_{j}r_{k} Dg(x_{j}, x_{k})  8
(Q)  x^{2} − t(x) x + n(x) 1_{Q} = 0  11
(Q′)  x · y + y · x = t(x) y + t(y) x − Dn(x, y) 1_{Q}  13
(Q_{τ})  x · τ(x) = n(x) 1_{Q}  16
(K1)  κ(1_{A}) = 1_{A}  17
(K2)  x · κ(x) ∈ R 1_{A}  17
(LQ)  x^{2} · y − t(x) x · y + n(x) y = 0  22
(LQ′)  (w · x + x · w) · y = t(w) x · y + t(x) w · y − Dn(w, x) y  23
(SQ1)  (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = ((x ∗ x) ∗ y) ∗ z  26
(SQ2)  (x ∗ x) ∗ (y ∗ z) = y ∗ ((x ∗ x) ∗ z)  26
(SQ1′)  (w ∗ x + x ∗ w) ∗ (y ∗ z) = ((w ∗ x + x ∗ w) ∗ y) ∗ z  27
(SQ2′)  (w ∗ x + x ∗ w) ∗ (y ∗ z) = y ∗ ((w ∗ x + x ∗ w) ∗ z)  27
(SQF)  (x ∗ x) ∗ y = g(x) y  28
(SQ)  s ∗ (y ∗ z) = (s ∗ y) ∗ z = y ∗ (s ∗ z)  30
(SQL)  L_{s} L_{y} = L_{s∗y} = L_{y} L_{s}  30
(SQR)  L_{s} R_{z} = R_{z} L_{s} = R_{s∗z}  30
(Alg1)  (x + x′) ∗ y = x ∗ y + x′ ∗ y  71
(Alg2)  x ∗ (y + y′) = x ∗ y + x ∗ y′  71
(Alg3)  r(x ∗ y) = (r x) ∗ x = x ∗ (r y)  71

(Komm) x ∗ y = y ∗ x 71

(Ass)  (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)  71

G Glossar

Einige grundlegende algebraische Begriffe und Strukturen werden in diesem Anhang zusammengestellt.

Abelsche Gruppe [Bourbaki, Alg. I 4.2] Unter einer abelschen Gruppe X wird eine (in der Regel additiv geschriebene) Gruppe verstanden, deren Verknüpfung (Addition) kommutativ ist: x + x′ = x′ + x für alle x, y ∈ X.

Additivität [LexAlg, S. 19] Eine Abbildung h : X ⟶ X′ zwischen zwei abelschen Gruppen heißt additiv, wenn für alle x_{1}, x_{2} ∈ X gilt h(x_{1} + x_{2}) = h(x_{1}) + h(x_{2}).

Assoziativität [Bourbaki, Alg. I 1.3] Eine zweistellige Verknüpfung ⊺ : E × E ⟶ E auf einer Menge E heißt assoziativ, wenn (x ⊺ y) ⊺ z = x ⊺ (y ⊺ z) für alle x, y, z ∈ E gilt.

Biadditivität [Bourbaki, Alg. II 3.1] Eine Abbildung h : X ×Y ⟶Z mit abelschen Gruppen X, Y, Z heißt biadditiv, wenn die Abbildungen h(x, ·) : Y ⟶ Z, y ↦ h(x, y) und h(·, y) : X ⟶ Z, x ↦ h(x, y) für alle x ∈ X, y ∈ Y additiv sind.

Gruppe [Bourbaki, Alg. I 2.3] Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer assoziativen zweistelligen Verknüpfung ⊺ : G × G ⟶ G, die ein neutrales Element hat und für die es zu jedem Element ein inverses Element gibt.

Inverses Element [Bourbaki, Alg. I 2.3] Ist ⊺ : E × E ⟶ E eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge E mit neutralem Element e ∈ E, so heißt eine Element x′ ∈ E (bzgl. ⊺) invers zu x ∈ E, wenn x ⊺ x′ = x′ ⊺ x = e gilt.

Kommutativität [Bourbaki, Alg. I 1.5] Eine zweistellige Verknüpfung ⊺ : E × E ⟶ E auf einer Menge E heißt kommutativ, wenn x ⊺ y = y ⊺ x für alle x, y ∈ E gilt.

Monoid [Bourbaki, Alg. I 2.1] Ein Monoid ist eine Menge mit einer assoziativen zweistelligen Verknüpfung, die ein neutrales Element besitzt.

Neutrales Element [Bourbaki, Alg. I 2.1] Ist ⊺ : E × E ⟶ E eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge E, so heißt eine Element e ∈ E (bzgl. ⊺) neutral, wenn e ⊺ x = x ⊺ e = x für alle x ∈ E gilt.

Glossar

Ring [Bourbaki, Alg. I 8.1] Unter einem Ring verstehen wir eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe R zusammen mit einer biadditiven Multiplikationsabbildung R×R⟶R, (r, r′) ↦ r·r′, die assoziativ ist und ein neutrales Element besitzt (das Einselement 1_{R} des Ringes).

Verknüpfung [DIN 13 302, Nr. 1.2] Eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge A ist eine Abbildung von A × A nach A. Allgemeiner versteht man unter einer m-stelligen Verknüpfung auf einer Menge A eine Abbildung des m-fachen kartesischen Produktes A^{m} = A × ⋯ × A nach A.

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Index

1

quadr. Alg. vom Rang 1 14 2

Charakteristik ungleich 2 70 quadr. Alg. vom Rang 2 12 2-torsionsfrei 13 unitär frei vom Rang ≥ 2 13

∞ Nilpotenzgrad ∞ 36

A Abbildung 82

additive Abb. 92 alternierende Abb. 7 biadditive Abb. 92 bilineare Abb. 6 Einschränkung 7 identische Abb. 5 involutorische Abb. 20 Komposition 5, 61 lineare Abb. 6 multiplikative Abb. 60 quadratische Abb. 6

Matrizendarstellung 9 symmetrische Abb. 6 siehe auch Bilinearis.abb. siehe auch Diagonalabb. siehe auch Multipl.abb. siehe auch Quadraturabb.

abelsche Gruppe 92 additiv abgeschlossen 72 additive Abbildung 92 Adjunktion

Einselement 31, 72 Teilmenge 74

Albert, A. Adrian 76 Albert 95

Albert 2, 4, 76

Satz von Albert 3, 38

ALF 75

Algebra Adjunktion Einsel. 31, 72 Alg. der dualen Zahlen 12 antikomm. Alg. 21, 23, 27, 43 assoziative Alg. 71 Assoziator 71 Dorrohsche Oberalg. 31, 72 einfache Alg. 64 Einselement 72 entgegengesetzte Alg. 72 komm.-ass. Alg. 71 kommutative Alg. 71 Kommutator 71 Kompositionsalg. 1 Lie-Alg. 23, 27 Linkseinselement 72 linkskonjugierte Alg. 2, 24 linksquadratische Alg. 22, 33 linksunitäre Alg. 72 Monoidalg. 60 Multiplikationsalg. 57, 58, 74

konjugierte Multipl.alg. 59 nicht-assoziative Alg. 71 Petersson-Alg. 1 quadr. Alg. 1, 11, 12–16

mit Basispunkt 14

und Peirce-Zerl. 43

Potenzen 11

quadr. Alg. vom Rang 1 14 quadr. Alg. vom Rang 2 12

Quasi-Kompositionsalg. 1 Rechtseinselement 72 rechtsquadratische Alg. 22 rechtsunitäre Alg. 72 reinquadratische Alg. 12 semiquadr. Alg. 2, 26, 33

semiquadr. Identitäten 30 Peirce-Zerlegung 42–50

subquadratische Alg. 22 Teilalgebra 73 zentral-einfache Alg. 66 zentrale Alg. 66

alternierend Abbildung 7 Matrix 9

Annullator 44 Ann.-Anteil 49 Ann.erweiterung 52 Erweiterungsann. 51

Anteil Annullator-Ant. 49 antikommutativer Ant. 21 quadratischer Anteil

semiquadr. Alg. 47 skalarer Anteil

quadr. Alg. 20 semiquadr. Alg. 46

vektorieller Anteil quadr. Alg. 20 semiquadr. Alg. 48

Antihomomorphismus 2 antikommutativ

Algebra 21, 23, 27, 43 antikomm. Anteil 21

assoziativ ass.e Algebra 71 ass.e Verknüpfung 92 siehe auch kommutativ-ass.

Assoziativität 71 und Assoziatoren 71 Nachweis auf Erz. sys. 71 für Ringe 5

Assoziator 71

und Assoziativität 71 Auswahlaxiom 8, 75 B Barendregt 95 Basis 5 Basispunkt 14

adjungieren 15

Jordan-Alg. mit Basispkt. 14 quadr. Alg. mit Basispkt. 14

Beeson 75, 95 Behrenberg, Sylvia 4 Benner, Marlies 4 biadditive Abbildung 92 Bild 5 bilineare Abbildung 6 Bilinearform 6

nichtausgeartete 70 Bilinearisierung 6 Bilinearisierungsabbildung 7 Bishop&Bridges 75, 95 Börger, Reinhard 3 Book of Involutions 1, 96 Bourbaki 92, 93, 95 Braun&Koecher 14, 95 Bridges, Douglas 75

Bishop&Bridges 75, 95 Bridges&Richman 75, 95

Bridges&Richman 75, 95 Brühne, Peter 4

build 80

C C 76 Charakteristik ungleich 2 70 charakteristische Gleichung

linksquadr. Alg. 22 linearisierte 23 quadr. Alg. 11 linearisierte 13 transformierte 16

Clemson University 4

   Albert 2, 4, 76

Jacobs, D. Pokrass 4 D Diagonalabbildung 6 DIN 5473 82, 95 DIN 13 302 93, 95 DIN-Standardnotationen 82 DIN-Taschenbuch 202 95

display 80

Dittmer, Petra 4 Dorrohsche Oberalgebra 31, 72 Dreßler, Lothar 4 Dreßler, Rainer 4 duale Zahlen

Algebra der dualen Z. 12 Düsseldorf 115

Ellerstraße 115 Lessing-Gymnasium 115 Marienschule 115 Rheindorfer Weg 115 Universität 4, 115

Durchschnitt 82

E Eigenschaft, universelle

Monoidalgebra 60 einfach

einf.e Algebra 64 einf.er Linksmodul 64

Einfacheitskriterium

semiquadr. Alg. 67, 69 einhüllende Teilalgebra 73 Einschränkung 7 Einselement 72

Adjunktion 31, 72 eines Ringes 5, 93 siehe auch Linkseinsel. siehe auch Rechtseinsel.

Eisenreich 96 Element 82

Einselement 72 idempotentes El. 37, 38–42 semiquadr. Alg. 43–49, 53,

55, 57 inverses El. 92 Linkseinselement 72

semiquadr. Alg. 51 neutrales El. 92 Rechtseinselement 72

Endomorphismenring 5 entgegengesetzt

Algebra 72 Multiplikation 72

Erweiterung

Annullatorerw. 52 Erweiterungsannullator 51

linksunitärer 51, 52 Erzeugendensystem 5, 71 erzeugt

durch Adjunktion 74 erz.e unitäre Teilalg. 74 erz.er Untermodul

durch Elemente 5

durch Teilmenge 5

F FernUniversität Hagen 115

Behrenberg, Sylvia 4 Benner, Marlies 4 Börger, Reinhard 3

bonsai 76

Brühne, Peter 4 Dittmer, Petra 4 Fachbibl. Mathematik 4 Große-Erdmann, Goswin 4 Hartl, Gerold 4 Locher, Franz 3 Mohren, Henning 4 Petersson, Holger P. 3 Schulte, Manfred 4 Unger, Luise 3 Weber, Adolf 4 Wiegner, Andreas 3 Folge

endliche Folge 60 leere Folge 60

Form quadratische Form 6, 28 siehe auch Bilinearform

frei freies Monoid 60 freie Monoidalgebra 61 siehe auch unitär frei

Funktionswert 82

G ganze Zahlen 82 gemeinnützige Werkstätten 115

generators 80

Große-Erdmann, Goswin 4 Gruppe 92

abelsche Gruppe 92

H Hagen, FernUniversität 115 Hartl, Gerold 4 Heinrich-Heine-Universität 115 Hentzel&Jacobs 76, 96 Homogenität (vom Grad 2) 6 Hülle, lineare 5, 73

I Ideal 74

Linksideal 74 Rechtsideal 74

idempotent

Element 37, 38–42

semiquadr. Alg. 43–49, 53,

55, 57 Projektion 40, 41, 42 triviales Idempotent 43

identische Abbildung 5 Identität

Jacobi-Id. 23 semiquadr. Id.en 26–28, 30

identity 80

inverses Element 92 Involutivität, Konjugation 17 involutorische Abbildung 20

Isabelle 75

J Jacobi-Identität 23 Jacobs, D. Pokrass 4

Hentzel&Jacobs 76, 96 Jacobs&Mu.&Of. 76, 96

Jacobson Jordan algebras 96 Lie algebras 96

Jordan-Algebra mit Basispkt. 14

K kanonische Konjugation 18, 19–21 kanonische Transformation 16 kartesisches Produkt 82 Kern 5

siehe auch quadr. Kern Kinzel, Petra 4 Knus

Book of Involutions 1, 96 Koecher

Braun&Koecher 14, 95 kommutativ

komm.-assoziative Alg. 71 komm.e Algebra 71 komm.e Verknüpfung 92

Kommutativität 71 und Kommutatoren 71 Nachweis auf Erz. sys. 71 für Ringe 5

Kommutator 32, 71

und Kommutativität 71 Kommutatorideal 32 Komplement, relatives 82 komplexe Zahlen 12, 17, 82 Komposition von Abb. 5, 61 Kompositionsalgebra 1 Konjugation 2, 17

Involutivität 17 kanonische Konj. 18, 19–21,

58, 66, 67 Normeigenschaft 17 reinquadratische Konj. 17 Spureigenschaft 17 Unitarität 17 Vertauschbarkeit 17 Vertauschungs-Konj. 19

konjugierte Multiplikationsalg. 59 konstruktiv 2

konstr.e Algebra 75 konstr.e Analysis 75 konstr.e Modultheorie 5 konstr.e Ringtheorie 5

L Lam 96 L^{A}TEX 4 leere Folge 60 leere Menge 82 Lehrbuch der Algebra

Teil 1 98 Teil 2 98

Lexikon der Algebra 96 Lie-Algebra 23, 27 linear

linear unabhängig 5 lineare Abbildung 6 lineare Hülle 5, 73

linearisierte char. Gleichung linksquadr. Alg. 23 quadr. Alg. 13

Linkseinselement 49, 51, 72

semiquadr. Alg. 47, 51–56 Linksideal 74 linkskonjugiert

Algebra 2, 24 Multiplikation 24 Linksmodul

Basis 5 einfacher Linksmodul 64 Endomorphismenring 5 Erzeugendensystem 5 linear unabhängig 5 Unitarität 5

Linksmultiplikation 30, 39, 57 linksquadratische Algebra 22, 33

Normform 22 Spurform 22

linksunitär linksunitäre Algebra 72 Erweiterungsann. 51, 52

Locher, Franz 3

M Magnusson&No. 75, 96 Martin-Löf, Per

Martin-Löf 75, 96 Typentheorie 75, 97

Matrix alternierende 9 schiefsymmetrische 9

Matrizendarstellung 9, 70 Menge 82

leere Menge 82 Merkurjev

Book of Involutions 1, 96 Mines&Ri.&Rui. 75, 96 Modul 5

Basis 5 einfacher Modul 64 Endomorphismenring 5 Erzeugendensystem 5 linear unabhängig 5 Unitarität 5

Mohren, Henning 4 Monoid 60

freies Monoid 60 Monoidalgebra 60 Monoidalgebra 60

freie Monoidalg. 61 univ. Eigensch. 60

Moscow ML 75

Muddana

Jacobs&Mu.&Of. 76, 96 Müller, Heinz 4, 115 Müller, Irene 4, 115 Multiplikation

entgegengesetzte 72 linkskonjugierte 24 nicht-ass. Alg. 71

Multiplikationsabbildung 71, 93 Multiplikationsalgebra 57, 58, 74

konjugierte Multipl.alg. 59 Multiplikationsideal 33 Multiplikationsring 32, 34, 36, 37 multiplikative Abbildung 60 multiplikative Struktur

Annullerw. 56

Peirce-Zerlegung 49 semiquadr. Alg. 50

Myung 97

N natürliche Zahlen 82 Neuss, gemeinn. Werkstätten 115 neutrales Element 92 nicht-assoziative Algebra 71 nichtausgeartete Bilinearform 70 nilpotentes Element 36 Nilpotenzgrad 36

Nilpotenzgrad ∞ 36 No.&Pe.&Sm. 75, 97 Nordström

Magnusson&No. 75, 96 No.&Pe.&Sm. 75, 97

Normform linksquadr. Alg. 22 quadr. Alg. 11 triviale Normform 23 Normierungsbedingungen 13 Nullendomorphismus 5, 40

O

Offutt

Jacobs&Mu.&Of. 76, 96 orthogonal 20

P

Partitionszahlen 81

Partitionszahl-Vermutung 81 Paulson 75, 97 Peirce-Zerlegung 39

Annullatorerw. 56 komm.-ass. Alg. 44 quadr. Kern 43 semiquadr. Alg. 42–49 multipl. Struktur 49, 50

Petermeyer, Britta 4

Petersson

No.&Pe.&Sm. 75, 97 Petersson, Holger P. 3

Petersson 69 1, 97 Petersson 71 1, 97 Petersson-Algebra 1

Plouffe

Sloane&Plouffe 98 Potenzen 35, 36

Potenzassoziativität 11, 36 in quadr. Alg. 11

Potenzassoziativität 11 in semiquadr. Alg. 35 Potenzgesetze 35

Produkt kartesisches 82 von Teilmengen 73 Projektion 40, 41, 42, 49, 54

Q

quadratisch

quadr. Abbildung 6 Matrizendarstellung 9 quadr. Algebra 1, 11, 12–16

mit Basispunkt 14 und Peirce-Zerl. 43 Potenzen 11 quadr. Alg. vom Rang 1 14 quadr. Alg. vom Rang 2 12

quadr.er Anteil

semiquadr. Alg. 47 quadr.e Form 6, 28 quadr.er Kern 2, 30, 31–34 Peirce-Zerlegung 43

quadr.er Ring 31 siehe auch linksquadr. siehe auch semiquadr.

Quadratur 6 Quadraturabbildung 7 Quasi-Kompositionsalgebra 1

quit 80

R R-Algebren-Homomorphismus 74 R-Algebren-Isomorphismus 74 rationale Zahlen 82 Rechtseinselement 72 Rechtsideal 74 Rechtsmultiplikation 30, 39, 57 rechtsquadratische Algebra 22 rechtsunitäre Algebra 72 reelle Zahlen 82 reinquadratisch

reinquadr. Algebra 12 reinquadr. Konjugation 17

relatives Komplement 82 Richman, Fred 75

Bridges&Richman 75, 95 Mines&Ri.&Rui. 75, 96 Richman 90 75, 97

R-Ideal 74 Ring 5, 93

Assoziativität 5 Einselement 5, 93 Kommutativität 5 Multiplikationsabbildung 93 quadratischer Ring 31

Romanenko

Ro.&Ru.&Se. 75, 97 Rosemeier, Frank 115 Rosemeier, Lena Tabea 4, 115 Rosemeier, Monika 4, 115 Rosemeier, Thea 4 Rost

Book of Involutions 1, 96 Ruitenburg

Mines&Ri.&Rui. 75, 96 Russo

Ro.&Ru.&Se. 75, 97

S

Schafer 97 Scheja&Storch Teil 1 98 Teil 2 98

schiefsymmetrische Matrix 9 Schreibweise ohne Υ 53, 57–60 Schulte, Manfred 4 semiquadratisch

semiquadr. Algebra 2, 26 Einfachheitskriterium 67 Identitäten 26–28, 30 Peirce-Zerlegung 42–50 Potenzen 35

Multiplikationsideal 33

Multiplikationsring 32, 34, 36,

37 Sestoft

Ro.&Ru.&Se. 75, 97 skalar

skalarer Anteil quadr. Alg. 20 semiquadr. Alg. 46 skalares Vielfaches 73

Sloane&Plouffe 98 Smith

No.&Pe.&Sm. 75, 97 Spurform

linksquadr. Alg. 22 quadr. Alg. 11 triviale Spurform 23

Struktur, multiplikative Annullerw. 56 Peirce-Zerlegung 49

semiquadr. Alg. 50 subquadratische Algebra 22 Summe von Teilmengen 72 symmetrische Abbildung 6

T τ-stabile Teilmenge 60 Teilalgebra 73

einhüllende Teilalg. 73 erzeugte Teilalg. 73 unitäre Teilalg. 73

Teilmenge 82 echte Teilm. 82 Produkt von Teilm.n 73 Summe von Teilm.n 72 τ-stabile Teilm. 60 X-stabile Teilm. 62

Tignol

Book of Involutions 1, 96 2-torsionsfrei 13 Transformation, kanonische 16 transformierte char. Gleichung

quadr. Alg. 16 treu siehe unitär treu trivial

triviale Zerlegung 43 siehe triv. Normform siehe triv. Spurform siehe triv. quadr. Form

Typ (α, β) 12 Typentheorie

Martin-Löfs T. 75 U Unger, Luise 3 unitär 72, 73

durch Adjunktion 74 unitär frei 13 un.e Teilalgebra 73

erzeugte un.e Teilalg. 74 unitär treu 21 un.e Algebra 72 Unitarität

Konjugation 17

Linksmodul 5 siehe auch linksunitär siehe auch rechtsunitär

universelle Eigenschaft

Monoidalgebra 60 Universität

Clemson University 4 Univ. Düsseldorf 115 FernUniversität Hagen 4 Univ. zu Köln 115

UNIX 76

Untermodul, erzeugter durch Elemente 5 durch Teilmenge 5

V vektorieller Anteil

quadr. Alg. 20 semiquadr. Alg. 48

Vereinigung 82 Verknüpfung

assoziative Verkn. 92 inverses Element 92 kommutative Verkn. 92 m-stellige Verkn. 93 neutrales Element 92 zweistellige Verkn. 93

Vertauschbarkeit, Konjugation 17 Vertauschungs-Konjugation 19 Vielfaches, skalares 73

view 80
view b 80
view m 80

W Weber, Adolf 4 Werkstätten, gemeinnuetzige 115 Wiegner, Andreas 3 Wisbauer, Robert 4

Algebras 98 Modul- und Ringtheorie 98

X X-stabile Teilmenge 62

Y Schreibweise ohne Υ 53, 57–60

Z Zahlen

Algebra der dualen Z. 12 ganze Z. 82 komplexe Z. 82 natürliche Z. 82 Partitionsz. 81 rationale Z. 82 reelle Z. 82

zentral-einfache Algebra 66 zentrale Algebra 66 Zentroid 33, 64 Zerlegung

direkte Summen-Zerl. 40 einseitige Zerl.en 40 nach involutorischer Abb. 20 linksseitige Zerl. 40 Peirce-Zerl. 39

quadr. Kern 43

Inhaltsverzeichnis

semiquadr. Alg. 42–50 rechtsseitige Zerl. 40 verfeinerte Zerl. 41 zweiseitige Zerl. 41 Einleitung 1

0 Einführung 5

1 Quadratische Abbildungen 6 1.1 Erinnerung (Bilineare Abbildungen) . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Definition (Quadratische Abbildungen) . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Beobachtung (Symmetrie der Bilinearisierung) . . . . . . . . . 6 1.4 Beispiel (Quadratur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Bemerkungen (Moduln von Abbildungen) . . . . . . . . . . . 7 1.6 Proposition (Quadratische Summenformel) . . . . . . . . . . . 8 1.7 Satz (Quadratische Fortsetzung) . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8 Korollar (Surjektivität der Quadraturabbildung) . . . . . . . 9 1.9 Folgerung (Matrizendarstellung quadratischer Abbildungen) . 9

Zusammenfassung (Quadratische Abbildungen) . . . . . . . . 10

2 Quadratische Algebren 11 2.1 Definition (Quadratische Algebren) . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Beobachtungen (Potenzassoziativtät, Teilalgebren) . . . . . . 11 2.3 Beispiele (Quadratische Algebren vom Rang 2) . . . . . . . . 12 2.4 Notiz (Linearisierte charakteristische Gleichung) . . . . . . . . 13 2.5 Proposition (Eindeutigkeit von Normform und Spurform) … 13 2.6 Hinweis (Quadratische Algebren vom Rang 1) . . . . . . . . . 14 2.7 Bezeichnungen (Quadratische Algebren mit Basispunkt) … 14 2.8 Bemerkungen (Standardkonstruktion quadratischer Algebren) 15 2.9 Notation (Kanonische Transformation) . . . . . . . . . . . . . 16

Zusammenfassung (Quadratische Algebren) . . . . . . . . . . 16

3 Algebren mit Konjugation 17 3.1 Motivation (Reinquadratische Konjugation) . . . . . . . . . . 17 3.2 Definition (Konjugation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Feststellung (Eigenschaften von Konjugationen) . . . . . . . . 17 3.4 Beobachtung (Kanonische Konjugation) . . . . . . . . . . . . 18 3.5 Beispiele (Kanonische Konjugationen vom Rang 1 und 2) … 18 3.6 Proposition (Eigenschaften kanonischer Konjugationen) …. 19 3.7 Erinnerung (Zerlegung nach involutorischer linearer Abbildung) 20 3.8 Satz (Zerlegung quadratischer Algebren mit Konjugation) . . 20 3.9 Korollar (Antikommutativer Anteil) . . . . . . . . . . . . . . 21

Zusammenfassung (Algebren mit Konjugation) . . . . . . . . 21 4 Linksquadratische Algebren 22

4.1 Definition (Linksquadratische Algebren) . . . . . . . . . . . . 22 4.2 Beobachtungen (Links-/rechts-/quadratische Algebren) …. 22 4.3 Beispiele (Linksquadratische Algebren) . . . . . . . . . . . . . 23 4.4 Notiz (Linearisierte charakteristische Gleichung) . . . . . . . . 23 4.5 Proposition (Eindeutigkeit von Normform und Spurform) … 24 4.6 Hinweis (Verschiedene Normformen und Spurformen) . . . . . 24 4.7 Zusatz (Eindeutigkeit über Körpern) . . . . . . . . . . . . . . 24 4.8 Bezeichnung (Linkskonjugierte Algebra) . . . . . . . . . . . . 24 4.9 Bemerkung (Linkskonjugierte Algebren haben triviale Spur) . 25

Zusammenfassung (Linksquadratische Algebren) . . . . . . . . 25

5 Semiquadratische Algebren 26 5.1 Motivation (Semiquadratische Identitäten) . . . . . . . . . . . 26 5.2 Definition (Semiquadratische Algebren) . . . . . . . . . . . . 26 5.3 Beobachtungen (Semiquadratische Algebren) . . . . . . . . . . 26 5.4 Notiz (Linearisierte semiquadratische Identitäten) . . . . . . . 27 5.5 Beispiele (Verschiedenartige semiquadratische Algebren) … 27 5.6 Konvention (Klammereinsparung) . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.7 Feststellung (Verallgemeinerte semiquadratische Identitäten) . 28 5.8 Sprechweise (Semiquadratisch mit quadratischer Form) …. 28 5.9 Hinweis (Linksquadratische und semiquadratische Algebren) . 29

Zusammenfassung (Semiquadratische Algebren) . . . . . . . . 29

6 Der quadratische Kern 30 6.1 Definition (Quadratischer Kern) . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6.2 Beobachtung (Symmetrisches Produkt im quadratischen Kern) 30 6.3 Notiz (Allgemeine semiquadratische Identitäten) . . . . . . . 30 6.4 Bezeichnungen (Quadratischer Ring) . . . . . . . . . . . . . . 31 6.5 Proposition (Modulstruktur über dem quadratischen Ring) . . 31 6.6 Notation (Kommutatorideal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.7 Bemerkungen (Multiplikationsring) . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.8 Schreibweise (Operation des quadratischen Kerns) . . . . . . . 33 6.9 Feststellung (Semiquadratische und linksquadratische Algebren) 33

Zusammenfassung (Der quadratische Kern) . . . . . . . . . . 34

7 Potenzen 35 7.1 Vereinbarung (Potenzen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.2 Beobachtung (Gerade und ungerade Potenzen) . . . . . . . . 35 7.3 Folgerung (Rechenregeln für Potenzen) . . . . . . . . . . . . . 35 7.4 Hinweis (Keine Potenzassoziativität) . . . . . . . . . . . . . . 36 7.5 Sprechweise (Nilpotenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.6 Notiz (Nilpotenz im quadratischen Kern) . . . . . . . . . . . . 36 7.7 Proposition (Charakterisierung nilpotenter Elemente) . . . . . 37 7.8 Satz (Existenz idempotenter Elemente) . . . . . . . . . . . . . 37 7.9 Korollar (Idempotente für semiquadratische Algebren) …. 37

Zusammenfassung (Potenzen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Die Peirce-Zerlegung 39 8.1 Proposition (Links-/Rechtsmultiplikation mit Idempotent) . . 39 8.2 Erinnerung (Direkte Summen-Zerlegung von Moduln) …. 40 8.3 Folgerung (Links- und rechtsseitige Zerlegung) . . . . . . . . . 40 8.4 Notiz (Rechtsmultiplikation auf Linkskomponenten) . . . . . . 40 8.5 Hinweis (Verfeinerte rechtsseitige Zerlegung) . . . . . . . . . . 41 8.6 Beobachtung (Zweiseitige Zerlegung) . . . . . . . . . . . . . . 41 8.7 Satz (Peirce-Zerlegung semiquadratischer Algebren) . . . . . . 42 8.8 Korollar (Peirce-Komponenenten des quadratischen Kerns) . . 43 8.9 Beispiele (Peirce-Zerlegungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Zusammenfassung (Die Peirce-Zerlegung) . . . . . . . . . . . 44

9 Multiplikative Eigenschaften 45 9.1 Feststellung (Multiplikation der linksseitigen Komponenten) . 45 9.2 Proposition (Multiplikation der zweiseitigen Komponenten) . 45 9.3 Hilfssatz (Multiplikation der verfeinerten Komponenten) … 46 9.4 Beobachtung (Skalarer Anteil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 9.5 Notiz (Skalarer Anteil und Multiplikationsring) . . . . . . . . 47 9.6 Lemma (Quadratischer Anteil) . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 9.7 Bemerkungen (Quadratischer Anteil) . . . . . . . . . . . . . . 48 9.8 Definition (Annullator-Anteil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9.9 Fazit (Multiplikative Struktur der Peirce-Zerlegung) . . . . . 49

Zusammenfassung (Multiplikative Eigenschaften) . . . . . . . 50

10 Annullatorerweiterungen 51 10.1 Proposition (Zerlegung der Multiplikation) . . . . . . . . . . . 51 10.2 Definition (Erweiterungsannullator) . . . . . . . . . . . . . . . 51 10.3 Hilfssatz (Annullatorerweiterung) . . . . . . . . . . . . . . . . 52 10.4 Bemerkungen (Zerlegungen der Annullatorerweiterung) …. 53 10.5 Notation (Direkte Summe von linearen Abbildungen) . . . . . 53 10.6 Lemma (Wiederholte Annullatorerweiterung) . . . . . . . . . 53 10.7 Beobachtungen (Quadratischer Ring des quadratischen Anteils) 55 10.8 Satz (Semiquadratische Algebren mit Linkseinselement) … 55 10.9 Hinweis (Multiplikative Struktur) . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Zusammenfassung (Annullatorerweiterungen) . . . . . . . . . 56

11 Die Multiplikationsalgebra 57 11.1 Feststellung (Multiplikationsalgebra) . . . . . . . . . . . . . . 57 11.2 Lemma (Zerlegung der Multiplikationsalgebra) . . . . . . . . 57 11.3 Notation (Abbildungen zur Annullatorerweiterung) . . . . . . 58 11.4 Proposition (Erzeugende der Multiplikationsalgebra) . . . . . 58 11.5 Bemerkungen (Konjugierte Multiplikationsalgebra) . . . . . . 59 11.6 Bezeichnungen (Monoidalgebra-Operation) . . . . . . . . . . . 60 11.7 Schreibweise (Vielfache in Moduln über Monoidalgeben) … 61 11.8 Notiz (Untermoduln über der freien Monoidalgebra) . . . . . 62 11.9 Hilfssatz (Ideale semiquadratischer Algebren) . . . . . . . . . 62

Zusammenfassung (Die Multiplikationsalgebra) . . . . . . . . 63

12 Einfache semiquadratische Algebren 64 12.1 Erinnerung (Einfache Algebren) . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 12.2 Notiz (Einfachheit als Modul) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 12.3 Lemma (Zentroid einfacher Algebren) . . . . . . . . . . . . . 64 12.4 Proposition (Linksunitäre einfache semiquadratische Algebren) 65 12.5 Bemerkung (Zentral-einfache semiquadratische Algebren) … 66 12.6 Beobachtung (Skalarer Anteil ist Körper) . . . . . . . . . . . 66 12.7 Satz (Einfachheitskriterium) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 12.8 Hinweis (Nicht einfache quadratische Algebra) . . . . . . . . . 69 12.9 Spezialfälle (Einfachheitsbedingungen) . . . . . . . . . . . . . 69

Zusammenfassung (Einfache semiquadratische Algebren) … 69

Diskussion 70

A Algebren 71 A.1 Nicht-assoziative Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 A.2 Kommutativität, Assoziativität . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 A.3 Einselemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.4 Entgegengesetzte Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.5 Verknüpfung von Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.6 Teilalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 A.7 Multiplikationsalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 A.8 Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 A.9 Algebren-Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

B Bemerkungen zum konstruktiven Ansatz 75 C Computerberechnungen mit Albert 76

C.1 Eine Beispielsitzung mit Albert . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 C.2 Erläuterung der Albert-Sitzung . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 C.3 Interpretation des Ergebnisses der Albert-Sitzung . . . . . . . 80

D DIN-Standardnotationen 82 D.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 D.2 Standard-Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 D.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

E Erläutertes Symbolverzeichnis 83 F Formelverzeichnis 91 G Glossar 92 Literaturverzeichnis 95 Index 99 Inhaltsverzeichnis 109

Lebenslauf

von Frank Rosemeier, geb. Müller

15. Januar 1963 Frank Josef Müller wird in Düsseldorf geboren als Sohn von Heinz Müller und Irene Müller, geb. Jux.

1969–1973 Besuch der Marienschule am Rheindorfer Weg in Düsseldorf.

1973–1982 Besuch des Lessing-Gymnasiums an der Ellerstraße in Düsseldorf.

1982–1990 Studium der Mathematik mit Nebenfach Physik an der Universität Düsseldorf, Abschluß mit Diplom.

1991–1992 Zivildienst in den Gemeinnützigen Werkstätten Neuss.

1992–1996 Lehramtsstudium an der Universität zu Köln und der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf, Abschluß ohne Staatsexamen.

16. September 1994 Heirat mit Monika Rosemeier.

1996–2003 Mitarbeiter des Lehrgebietes Algebra/Geometrie an der FernUniversität Hagen.

10. Februar 2000 Geburt der Tochter Lena Tabea Rosemeier.

Frank Rosemeier Lehrgebiet Algebra/Geometrie FernUniversität Hagen D-58084 Hagen

E-Mail: Frank.Rosemeier@FernUni-Hagen.de

Mathematics Subject Classification (2000): primary 17 A 30, 17 A 60, 17 A 75; secondary 05 A 17, 17 A 50