Computerbasiertes Training numerischer Verfahren (Teil 1)
Mathematik-Online-Kurs 1272
Liebe Fernstudentin, lieber Fernstudent,
ich begrüße Sie zum Kurs 1272 Computerbasiertes Training numerischer Verfahren (Teil 1).
Der Kurs wird Online angeboten und soll den Teilnehmern interaktiv und multimedial ein tieferes Verständnis von Inhalten, wie sie in Kursen mit numerischen Inhalten dargelegt werden, ermöglichen (1173, 1183 Teil 1, 1271, 1372, 1152 Teil 2). Die Teilnehmer erhalten Zugriff auf 5 Blöcke von Java-Applets:
- Wachstumsgleichungen
- Nullstellenbestimmung von Funktionen
- Interpolation mit algebraischen Polynomen
- Interpolation mit trigonometrischen Funktionen und FFT
- Fourier-Techniken und Bildbearbeitung
Wachstumsgleichungen
Iterationsverfahren bilden eine Grundlage der numerischen Mathematik. In diesem Abschnitt unterrsuchen wir das Iterationsverhalten für verschiedene Wachstumsfunktionen.Applet Geradeniteration
Wie der Name schon sagt, ist hier die Wachstumsgleichung eine Gerade. Die Steigung der Gerade und der Iterationsstartwert können im Applet eingegeben werden. Graphisch erhält man die Iterationswerte, indem man den Graphen der Geraden und die Winkelhalbierende in einer "Iterationstreppe" ausgehend vom Startwert durchläuft. Die Gerade ist mathematisch gesehen das einfachste Wachstumsmodell. Reale Prozesse (beispielsweise der epidemiologische Verlauf einer Krankheit in einem Kindergarten) lassen sich nur sehr beschränkt mit Hilfe dieses linearen Wachstumsmodells beschreiben Dennoch ist die Geradeniteration eine schöne Motivation für Iterationsverfahren und diskrete dynamische Systeme.
Applet Parabeliteration
In diesem Applet liegt als Wachstumsfunktion eine Parabel vor. Die Parabeliteration hat in den letzten Jahren großes Interesse bei Mathematikern, Naturwissenschaftlern und interessierten Laien gefunden, da man an ihr trotz ihrer Einfachheit typische Phänomene von dynamischen Systemen studieren kann. Das Applet Parabeliteration zeigt, daß sich eine nichtlineare Rekursion qualitativ sehr unterschiedlich verhalten kann, je nachdem, welchen Wert ein "Steuerparameter" hat. Jenseits eines bestimmten Steuerparameters tritt Chaos ein, ein Phänomen, das Mathematiker, Physiker, Biologen, Chemiker, ja sogar Astronomen, Ökologen und Volkswirte gleichermaßen fasziniert, weil es in ihren Arbeitsbereichen Systeme gibt, die sich chaotisch verhalten. Beispiele hierfür sind neben Populationsmodellen etwa chemische Reaktionen, das Wetter und volkswirtschaftliche Modelle. Auch der oben erwähnte epidemiologische Verlauf einer Krankheit in einem Kindergarten läßt sich mit der Parabel als Wachstumsmodell besser beschreiben. Man bezeichnet dieses verbesserte Modell als das logistische Wachstumsmodell, weil es auch berücksichtigt, daß für das Wachstum der Epidemie "Nachschub" in Form von Kranken vorhanden sein muß.
Applet Funktioneniteration
Im Applet Funktioneniteration kann die Wachstumsfunktion mit Hilfe eines Funktioneneditors frei gewählt werden. Wie in den beiden oberen Applets geht es darum, ausgehend von einem Startwert die Iteration graphisch durchzuführen. Allerdings ist hier die genaue Analyse des Konvergenz-Divergenzverhaltens und die Bestimmung von Attraktoren weitaus schwieriger. Genaugenommen handelt es sich bei den Iterationsschritten um eine Fixpunktiteration, und daher ist das grundlegende theoretische Hilfsmittel der Banachsche Fixpunktsatz. Der Banachsche Fixpunktsatz garantiert für eine große Klasse von Abbildungen die Existenz und die Eindeutigkeit eines Fixpunktes. In diesem Fall ist dann auch die Konvergenz der Iterationsfolge für jeden Startwert gegen diesen Fixpunkt gesichert. Lesen sie dazu den Text des Mathe-Assistenten, und probieren Sie die Parametervorgaben im Menü des Applets aus.
Nullstellen von Funktionen
Eine wichtige Grundaufgabe der Numerik ist es, Verfahren bereitzustellen, die es ermöglichen, die Lösung(en) einer nichtlinearen Gleichung f(x)=0 zu bestimmen, sofern solche überhaupt existieren. Da man nur für wenige Funktionen explizite Lösungsformeln kennt, z.B. wenn f ein Polynom von höchstens viertem Grad ist, geht man i.a. näherungsweise vor. Das untenstehende Applet soll Nullstelleniterationen anhand von zwei Verfahren, dem Newton- und Sekanten-Verfahren demonstrieren und die Iterationsschritte graphisch darstellen. Weiter soll das Applet auch zeigen, daß die Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen nicht problemlos sind.
Applet Nullstelleniteration
Eine wichtige Grundaufgabe der Numerik ist es, Verfahren bereitzustellen, die es ermöglichen, die Lösung(en) einer nichtlinearen Gleichung f(x)=0 zu bestimmen, sofern solche überhaupt existieren. Da man nur für wenige Funktionen explizite Lösungsformeln kennt, z.B. wenn f ein Polynom von höchstens viertem Grad ist, geht man i.a. näherungsweise vor. Das untenstehende Applet soll Nullstelleniterationen anhand von zwei Verfahren, dem Newton- und Sekanten-Verfahren demonstrieren und die Iterationsschritte graphisch darstellen. Weiter soll das Applet auch zeigen, daß die Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen nicht problemlos sind.