Logo der Fakultät Logo Stochastik
 

Maß- und Integrationstheorie

Allgemeine Informationen
Kurstitel Maß- und Integrationstheorie
Kursnummer 01145
Kursautor Prof. Dr. W. Kirsch
Kursumfang 1 Semester
SWS (Vorlesung + Übung) 4+2
Workload
ECTS
Wintersemester 2015/2016
Verantwortliche Kursbetreuung
Ansprechpartner für Fragen zum Kurs
Übungsbetreuung
Studientagsbetreuung
Prüfungsklausur

12.08.2017 (10-12 Uhr)
(siehe auch „Aktuelle Meldungen für das Wintersemester“ der Fakultät)

Studientag(e)
  1. am 02.+03.12.2017, jeweils 10-18 Uhr im Regionalzentrum Berlin, Seminarräume 3,4 und 11
  2. am 27.+28.01.2018, jeweils 10-18 Uhr im Regionalzentrum Nürnberg, Seminarraum Nizza/Venedig (früher Raum 1 a+b)

Kursbeschreibung

Der Kurs "Maß- und Integrationstheorie" führt in ein zentrales Gebiet der Analysis ein und bildet für zahlreiche Gebiete der reinen Mathematik (z. B. Funktionalanalysis, Differentialgeometrie) und der angewandten Mathematik (insbesondere der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischer Statistik) eine unverzichtbare Grundlage.

Aus dem Inhalt:

  • Kurseinheit 1: Das Riemann-Integral
    • Definition und elementare Eigenschaften
    • Integrationsmethoden und Beispiele
    • Grenzwerte und Integrale
    • Uneigentliche Riemann-Integrale
    • Zwei Erweiterungen des Riemann-Integrals
  • Kurseinheit 2: Ein Aperitif aus Mengenlehre und Analysis
    • Drei Esslöffel Mengenlehre
    • Eine Nadelspitze Unendlichkeit
    • Ein Schuß Analysis und Topologie
    • Eine Prise Funktionalanalysis
  • Kurseinheit 3: Grundzüge der Maßtheorie
    • Grundbegriffe
    • Das Inhaltsproblem im \mathbb{R}^{d}
    • Intervalle: Der eindimensionale Fall
    • Ringe und Halbringe
    • Inhalte und Prämaße
    • Prämaße auf dem \mathbb{R}^{d}
    • Der erste Maßerweiterungssatz
  • Kurseinheit 4: Maße und Sigma-Algebren
    • \sigma-Algebren
    • Maße und Prämaße
    • Prinzip der guten Mengen, Dynkin-Systeme
    • Der (zweite) Maßerweiterungssatz
    • Ein Rückblick zur Orientierung
    • Zur Eindeutigkeit der Maßfortsetzung
    • Vollständige Maßräume
    • Das Lebesgue-Maß
  • Kurseinheit 5: Integration
    • Messbare Abbildungen
    • Approximation messbarer Funktionen
    • Das Integral für positive Funktionen
    • Integrierbare Funktionen
    • Integrierbare Funktionen: Beispiele
  • Kurseinheit 6: Mehr über Integration
    • Der Satz von Lebesgue
    • Fast sichere Eigenschaften
    • Riemann-Integral und Lebesgue-Integral
    • Produktmaße und der Satz von Fubini
    • Volumenberechnung in \mathbb{R}^{d}
    • Mehr-dimensionale Integrale: Beispiele
    • Bildmaße
    • Der Transformationssatz
  • Kurseinheit 7: Die L^{p}-Räume und mehr Maßtheorie
    • Einige Konvergenzbegriffe
    • Der Raum L^{1}(\mu)
    • Die L^{p}-Räume
    • Der Hilbertraum L^{2}
    • Der Satz von Radon-Nikodym
    • Der Zerlegungssatz von Lebesgue
    • Klassen von Maßen auf \mathbb{R}

Kursvoraussetzungen

  • 01141 - Mathematische Grundlagen

Hinweis: Wünschenswert wäre auch eine vorherige oder gleichzeitige Belegung des Kurses 01143 - Lineare Algebra. Alternativ können Sie entsprechende Vorkenntnisse anderweitig, bspw. durch die Kurse 01134 - Analysis I und 01104 Lineare Algebra I erworben haben.

Prüfungen

Eine Prüfung zu diesem Kurs findet in Form einer 120 minütigen Prüfungsklausur statt. Die Anmeldung zu dieser Prüfung kann nur über das Prüfungsamt Mathematik und Informatik erfolgen. Der Prüfungstermin wird Ihnen schriftlich zusammen mit den Kursunterlagen mitgeteilt. Aktuelle Prüfungsinformationen finden Sie auch in unseren Prüfungsinformationen.

Studientag zum Kurs

Im Regelfall werden zwei inhaltlich verschiedene Studientage zum Kurs 01145 Maß- und Integrationstheorie angeboten.

Thema des ersten Studientags sind die Kapitel 3 und 4 mit dem Ziel, das Konzept des Maßes (und insbesondere das Lebesguemaß) einzuführen. Dabei werden die verschiedenen Mengensysteme aus dem Kapitel 3 motiviert und miteinander in Relation gesetzt. Darauf aufbauend wird gezeigt und motiviert, wie Maße mittels Inhalten und äußeren Maßen definiert werden können.

Thema des zweiten Studientags sind die Kaptel 5 und 6. Es wird der Integralbegriff motiviert und dessen Herleitung mittels Treppenfunktionen besprochen. Insbesondere werden die Sätze von Levi, Lebesgue und Fubini angesprochen.

Newsgroup zum Kurs

Aktuelle Fragen zum Verständnis des Kurses können in der Newsgroup mit uns diskutiert werden.

https://www.fernuni-hagen.de/www2news/thread.php?cluster=mathematik-kurse.txt&group=feu.mathematik.kurs.1145.MINT

Hinweis: Für den Zugang zum Newsserver benötigen Sie Ihre studentischen Account-Daten.

Literaturhinweise

Zur Vertiefung des Stoffes empfehlen wir die Literatur von:

  • Bauer, Heinz: Maß- und Integrationstheorie, 2. Auflage, de Gruyter 1992
  • Elstrodt, Jürgen: Maß- und Integrationstheorie, 2. Auflage, Springer 1998

Zur Wiederholung von Grundlagen eignet sich das Studium von:

  • Barner, Martin; Flohr, Friedrich: Analysis I und II, de Gruyter 2000 und 1089
  • Forster, Otto: Analysis 1-3, Vieweg und Teubner 2008-2009
  • Lang, Serge: Real Analysis, Addison-Wesley 1983

Ergänzungsmaterialien

Wir bieten Einsendeaufgaben zum Üben an.

Pro Kurseinheit werden - in der Regel - 4 Aufgaben in den Einsendeaufgaben gestellt. Wenn Sie die bearbeiteten Einsendeaufgaben bis zum Einsendeschluß an uns zurücksenden, bekommen Sie die Aufgaben korrigiert zurück.

Die Einsendeaufgaben liegen als PDF-Dateien im Kursbereich der virtuellen Universität vor. Zusätzlich können dort Musterlösungen zu den Einsendeaufgaben etwa 2 Wochen nach Einsendeschluß als PDF-Datei abrufen werden. Die virtuelle Universität erreichen Sie unter https://vu.fernuni-hagen.de/.

Excerpt

Zum Anzeigen des Excerptes wird ein pdf-Browserplugin benötigt. Zum offline lesen, können Sie hier das Excerpt herunterladen.

Lehrgebiet Stochastik | 05.04.2017
FernUni-Logo FernUniversität in Hagen, Lehrgebiet Stochastik, 58084 Hagen, Tel.: +49 2331 987-2283