Logo der Fakultät Logo Stochastik
 

Java-Applets zur Visualisierung der Riemann- und Lebesgue-Integration

Projektleitung:

W. Kirsch

Implementierung: J. Rentmeister

Einleitung

Liebe FernStudentinnen und FernStudenten,

im Kurs 01145 Maß- und Integrationstheorie lernen Sie das Riemann-Integral und das Lebesgue-Integral kennen. Insbesondere das Lebesgue-Integral fordert viel abstrakte Maschinerie in Form des Lebesgue-Maßes, der Treppenfunkionen und der Borel-Sigma-Algebra. Um Ihnen eine kleine Visualisierungshilfe zu geben, stellen wir Ihnen die nachstehenden Java-Applets vor. Insbesondere möchten wir Ihnen den konzeptionellen Unterschied zwischen den beiden Integralbegriffen verdeutlichen.

Wir wünschien Ihnen viel Spaß beim Ausprobieren der Applets,
Ihr Stochastik-Team.

Technische Daten

Die Applets sollten aus Ihrem Browser aus aufrufbar sein. Bitte klicken Sie auf den entsprechenden Start des Experiments Button.

Sie benötigen Java zum ausführen der Applets. Eine entsprechene Java-Umgebung finden Sie z. B. auf www.java.com.

Das Riemann-Integral

Screenshot - Riemann-Integral-Applet Screenshot des Java-Applets zur Visualisierung des Riemann Integrals.
Sie sehen den Graph der Funktion x -> sin(Pi x) auf dem Einheitsintervall zusammen mit den Graphen der Ober- und Untersummen mit 6 äquidistanten Stützstellen.

Im Riemann-Integral-Applet können Sie zwischen 5 Funktionen wählen, zu denen Ober- und Untersummen gebildet werden.

Es handelt sich um die Funktionen f1 bis f5 gegeben durch

  • f1: [0,1] → [0,1]; f1(x) = sin(pi x),
    also einer halben Sinus-Welle,
  • f2: [0,1] → [0,1]; f2(x) = x,
  • f3: [0,1] → [0,1]; f3(x) = x * \chi_{[0,1] \cap \mathbb{Q}} (x) + (1-x) * \chi_{[0,1] \setminus \mathbb{Q}} (x),
    d.h., der Graph der Funktion f3 ist die Vereinigung der Graphen von x getragen auf den rationalen Zahlen im Einheitsintervall und von 1-x getragen auf den irrationalen Zahlen,
  • f4: [0,1] → [0,1]; f4(x) = 2x mod 1,
    d.h., f4(x) = 2x für 0 <= x < 1/2 und f4(x) = 2x-1 für 1/2 <=x <= 1 – der Graph von f4 sieht wie eine zweizackige Säge aus, und
  • f5: [0,1] → [0,1];
    f5(x) = 0 für x in [0.00, 0.05) \cup [0.10, 0.15) \cup ... \cup [0.90, 0.95) und
    f5(x) = x² für x in [0.05, 0.10) \cup [0.15, 0.20) \cup ... \cup [0.95, 1.00).
    (Der Graph von f5 hat 10 „Zacken“.)

Wenn Sie eine dieser Funktionen auswählen (durck Klicken mit der Maus in dem entsprechenden Auswahlkästchen „Funktionen“), wird der Graph der Funktion gezeichnet. Zusätzlich wird der numerische Wert des eigentlichen Riemann-Integrals „Int_0^1 f(x) dx“ links neben dem Funktionsgraphen als „I[f]“ ausgegeben.

Im Fenster des Applets finden Sie zwei weitere Rahmen „Anzahl der Stützpunkte“ und „Optionen“.

Im Rahmen „Anzahl der Stützpunkte“ können Sie am Schieber die Anzahl der Stützpunkte vorgeben, wonach die Ober- und Untersummen gebildet werden. Die Stützpunkte werden äquidistant im Intervall [0,1] verteilt. Die Stützpunkte werden auch auf der x-Achse im Diagramm veranschaulicht. Zusätzlich können sie durch Klicken mit der Maus im Diagramm direkt Stützpunke auf der x-Achse bestimmen, die zur Berechnung der Ober- und Untersummen benutzt werden.

Im Rahmen „Optionen“ können Sie die Visualisierung der Ober- und Untersummen beinflussen. Die Option „keine Fläche“ zeichnet die Obersummen als grüne Graphen und die Untersummen als rote Graphen ein. Die Option „Zeichne Untersummen“ zeichnet nur die Graphen der Untersumme und füllt zusätzlich die Fläche, die zwischen dem Graphen der Untersumme und der x-Achse eingeschlossen wird, aus. Ensprechend zeichnet die Option „Zeichne Obersummen“ nur die Graphen der Obersumme und füllt die Fläche, die zwischen dem Graphen der Obersumme und der x-Achse eingeschlossen wird, aus.

Die numerischen Werte der Ober- und Untersummen zur gewählten Stützpunktverteilung werden im Diagramm oben links mit „O[f]“ und „U[f]“ bezeichnet ausgegeben.

Tipp: Schauen Sie sich mal an, wie schwierig es ist, z. B. das Riemann-Integral der Funktion f5 durch äquidistante Stützpunktverteilungen durch Ober- und Untersummen zu approximieren.

Das Lebesgue-Integral

Screenshot - Lebesgue-Integral-Applet Screenshot des Java-Applets zur Visualisierung des Lebesgue Integrals.
Sie sehen den Graph der Funktion x -> sin(Pi x) auf dem Einheitsintervall zusammen mit den Graphen ainer approximierenden Treppenfunktion.

Im Lebesgue-Integral-Applet können Sie zwischen 5 Funktionen wählen, zu denen Treppenfunktionen gebildet werden. Es sind die gleichen Funktionen, die auch im Riemann-Integral-Applet zur Verfügung stehen. Wie gehabt handelt es sich um die Funktionen f1 bis f5 gegeben durch

  • f1: [0,1] → [0,1]; f1(x) = sin(pi x),
  • f2: [0,1] → [0,1]; f2(x) = x,
  • f3: [0,1] → [0,1]; f3(x) = x * \chi_{[0,1] \cap \mathbb{Q}} (x) + (1-x) * \chi_{[0,1] \setminus \mathbb{Q}} (x),
    d.h., der Graph der Funktion f3 ist die Vereinigung der Graphen von x getragen auf den rationalen Zahlen im Einheitsintervall und von 1-x getragen auf den irrationalen Zahlen,
  • f4: [0,1] → [0,1]; f4(x) = 2x mod 1,
    d.h., f4(x) = 2x für 0 <= x < 1/2 und f4(x) = 2x-1 für 1/2 <=x <= 1, und
  • f5: [0,1] → [0,1];
    f5(x) = 0 für x in [0.00, 0.05) \cup [0.10, 0.15) \cup ... \cup [0.90, 0.95) und
    f5(x) = x² für x in [0.05, 0.10) \cup [0.15, 0.20) \cup ... \cup [0.95, 1.00).
    (Der Graph von f5 hat 10 „Zacken“.)

Wenn Sie eine dieser Funktionen auswählen (durck Klicken mit der Maus in dem entsprechenden Auswahlkästchen „Funktionen“), wird der Graph der Funktion gezeichnet. Zusätzlich wird der numerische Wert des Lebesgue -Integrals „Int_0^1 f(x) dx“ links neben dem Funktionsgraphen als „I[f]“ ausgegeben.

Im Fenster des Applets finden Sie zwei weitere Auswahlkästen: „Anzahl der Stufen“ und „Optionen“.

Im Kasten „Anzahl der Stufen“ können Sie am Schieber die Anzahl der Punkte vorgeben, in die der Wertebereich [0,1] geteilt wird. Diese Punkte werden äquidistant im Intervall [0,1] (Wertebereich) verteilt und auf der y-Achse im Diagramm veranschaulicht. Zusätzlich können sie durch Klicken mit der Maus im Diagramm weitere Punke auf der y-Achse bestimmen, die zur Berechnung der approximierenden Treppenfunktion benutzt werden.

Im Kasten „Optionen“ können Sie die Visualisierung der Treppenfunktion beinflussen. Die Option „keine Fläche“ zeichnet den Graphen der Treppenfunktion in rot. (Es gibt eine Ausname: bei der Funktion f3 wird der Teil der Graphen über irrationale x-Werte des Definitionsbereichs in rot gezeichnet. Der Teil, der über rationale Zahlen des Definitionsbereichs getragen wird, wird in grün gezeichnet. Da rationale Zahlen eine Lebesgue-Nullmenge formen, werden diese „Treppen“ im Wert der Treppenfunktion nicht berücksichtigt.) Die Option „Zeichne Fläche“ zeichnet die Graphen der Treppenfunktion füllt und zusätzlich die Fläche, die von ihm und der x-Achse eingeschlossen wird, aus.

Der numerische Wert des Lebesgue-Integrals über die Treppenfunktion wird im Diagram oben links mit „T[f]“ bezeichnet ausgegeben.

Tipp: Schauen Sie sich mal an, wie gut die Funktion f5 durch Treppenfunktionen mit äquidistante Punktverteilungen auf der y-Achse approximiert wird.

Zusammenfassung

Diese beiden Applets sollen Ihnen einen wichtigen Unterschied in der Konstruktion der Riemann- und Lebesgue-Integrale verdeutlichen.

  • Die Definition des Riemann-Integral ist einfach zu verstehen, da die Ober- und Untersummen als endliche Summen einfache Konzepte sind.
  • Schwächen des Riemann-Integrals liegen z. B. bei der numerischen Berechnung von Integralen mit nichtstetigen Integranden. Unstetigkeitsstellen, wie sie z. B. bei f3, f4 und f5 vorkommen, fordern eine sehr hohe Stützstellenanzahl, um sie durch Ober- und Untersummen mit äquidistanter Stützstellenverteilung korrekt abzutasten. Sind unendlich viele Unstetigkeitsstellen im Integranden (z. B. f3) vorhanden, dann scheitert die Konvergenz der Ober- und Untersummen gegen einen gemeinsamen Grenzwert.
  • Die Konzeption des Lebesgue-Integrals ist schwieriger. Insbesondere muß man sich klar machen, dass man eigentlich den Wertebereich diskretisiert. Das Urbild dieser diskreten (Funktions)-Werteintervalle sind dann messbare Mengen, falls die zu integrierende Funktion messbar ist. Dies vereinfacht das Abtasten der Funktion erheblich, z. B. auch bei den Funktionen f3, f4 und f5 mit Unstetigkeitsstellen.
  • Das Lebesgue-Integral baut auf den mächtigen Begriff der Maße auf. Dadurch ist der Integralbegriff viel flexibler, da wir das Lebesgue-Maß gegen andere Maße austauschen könen ohne alle Integralsätze neu beweisen zu müssen. (Dies ist beim erweitern des Riemann-Integrals z. B. zum Riemann-Stieltjes-Integral der Fall.)

Wir hoffen, dass Sie viel Spaß beim Ausprobieren der Applets hatten,

Ihr Stochastik-Team.

Tobias Mühlenbruch | 30.08.2012
FernUni-Logo FernUniversität in Hagen, Lehrgebiet Stochastik, 58084 Hagen, Tel.: +49 2331 987-2283