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Topoligical Resonances in Quantum Graphs

07. April 2015

Vortragsreihe: Seminar über Mathematische Physik und Funktionalanalysis

Zeitraum
07.04.2015 16:00 Uhr
(bis 18 Uhr)

Ort
Ehem. TGZ, Raum E08, 4. OG, Universitätstr. 11, 58097 Hagen

Veranstalter
Lehrgebiet Analysis

Referent
Dr. Sven Gnutzmann
Promoviert im Jahr 2000 an der Universität GH Essen, habilitiert im Jahr 2006 an der Freien Universität Berlin, aktuelle Professur an der University of Nottingham

Weiteres zur Auskunft
Dr. Kerner, Fakultät Mathematik und Informatik, Lehrgebiet Analysis

Im ersten Teil des Vortrags werden Quantengraphen als paradigmatisches Modell für Quantenchaos vorgestellt. Ein Quantengraph ist ein metrischer Graph zusammen mit einem selbstadjungierten Schroedinger Operator, der die zeitliche Dynamik einer skalaren (komplexwertigen) Wellenfunktion bestimmt. Im Quantenchaos interessiert man sich für (häufig universelle) Eigenschaften komplexer Systeme, die durch (meist lineare und selbstadjungierte) Wellengleichungen beschrieben werden. Diese können sich z.B. bei abgeschlossenen Systemen in den statistischen Eigenschaften von Eigenwertspektren und den zugehörigen Eigenfunktionen zeigen. Bei offenen Systemen zeigen dann die Resonanzspektren (Pole der Resolvente des Schroedingeroperators), Transmissions- und Reflektionseigenschaften häufig universelle Eigenschaften. Im Hauptteil des Vortrags werde ich mich auf die Statistik der Resonanzspektren konzentrieren und zeigen, wie sich topologische Eigenschaften des zugrundeliegenden Graphen in der Statistik von sehr langlebigen Resonanzen (Pole nahe an der reellen Axe) widerspiegeln. Der zugrundeliegende Mechanismus baut auf speziellen Eigenschaften von Quantengraphen auf, sodass der Effekt nicht-universell für allgemeine Quantenchaotische Systeme ist. Ein Störungstheoretisches Argument zeigt, wie sich langlebige Resonanzen auf Zyklen im Graph aufbauen können -- wobei der kürzeste Zyklus im Graph zu den stärksten Resonanzen führt, und den Exponenten des algebraischen Abfalls der entsprechenden Verteilung bestimmt. Aus dieser Heuristik lässt sich eine allgemeine Vermutung über topologische Exponenten in Resonanzverteilungen von Quantengraphen aufstellen -- analoge Argumente führen zu allgemeinen Vermutungen über Lokalisierung von Wellenfunktionen entlang von Zyklen in geschlossenen Quantengraphen.

Gerd Dapprich | 06.12.2017