Ein spezielles W-Maß über einem Produktausgangsraum ist durch das Produkt-W-Maß zweier W-Maße gegeben.
Bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten beliebiger Ereignisse aus
dem Produktausgangsraum erweist sich der 
-Schnitt von
Mengen als nützlich.
An die Spitze unserer Überlegungen stellen wir ein Beispiel.
7.1 Beispiel
Beim zweimaligen Werfen mit einem unverfälschten Würfel bestimme man die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß
und für die W-Maße 
bzw. 
beide Male die diskrete Gleichverteilung (auf ). Zur Beschreibung
des zweimaligen Wurfes sei 
der Ausgangsraum, während
das W-Maß P durch die diskrete Gleichverteilung auf
gegeben sein.
Weiter sei 
sowie 
. Dann
gilt
;
;
.
-- eine Einsicht, die man
sofort für beliebige Mengen 
bestätigen kann. Wegen
folgt
Die sich als ,,Produktregel`` präsentierende Beziehung
(7.1.1) ist freilich eine Konsequenz aus der Festlegung der W-Maße
und .
Beispiel 7.1 bzw. die als Produktregel angesprochene Beziehung (7.1.1) gibt Anlaß zur Definition des Produkt-W-Maßes als ein spezielles W-Maß über dem Produkt von Ausgangsräumen. Die Definition wird durch Satz 7.2 vorbereitet.
7.2 Satz
Seien 
W-Maße auf 
, 
ihre W-Funktionen, i=1,2
sowie 
.
ist eine
W-Funktion.
eindeutig festgelegte W-Maß P und nur für dieses gilt:
Beweis:
und 
W-Funktionen sind, ergibt sich
aufgrund der Definition von w mit Hilfe des Umordnungssatzes für
unendliche Reihen mit nichtnegativen Gliedern
Damit ist w nach 4.6 eine W-Funktion.
folgt
wiederum nach dem Umordnungssatz für Reihen mit nichtnegativen Gliedern
d.h., das durch w auf eindeutig festgelegte
W-Maß P genügt (7.2.2.1).
Erfüllt ein beliebiges W-Maß Q auf die
Beziehung (7.2.2.1), so gilt P=Q, denn man setzt im Rechtsterm von
(7.2.2.1) für 
, bzw. 
insbesondere 
,
so wird klar, daß P und Q dieselbe W-Funktion (A HREF="node7.html#7211">7.2.1.1) haben
und infolgedessen übereinstimmen. 
7.3 Definition
Seien 
, i=1,2 zwei W-Räume. Das durch 7.2.2.1 auf
eindeutig festgelegte W-Maß heißt das
Produktmaß (präziser Produkt-W-Maß) von
und ; in Zeichen: 
.
Dieses ist charakterisiert durch die Produktmaßeigenschaft:
Der W-Raum 
heißt der
Produkt-W-Raum der W-Räume
, i=1,2.
Das Produkt-W-Maß ist ein Beispiel für ein W-Maß über einem
Produktausgangsraum. Die Gleichverteilung über , wie sie
in Beispiel 6.1 eingeführt wurde, ist offenbar das Produktmaß der
Gleichverteilungen jeweils über .
7.4 Bemerkung
Selbstverständlich läßt sich die Produktmaßdefinition sofort auf W-Maße
ausdehnen. In diesem Falle schreiben wir dann
Die Produktmaßbildung ist -- wie das Konstruktionsprinzip für Produktmaße lehrt -- kommutativ und assoziativ.
Die Produktmaßeigenschaft (7.3.1) gibt lediglich eine
Handlungsanleitung zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von ,,
Rechtecksereignissen`` 
. Bei der Bestimmung von
Wahrscheinlichkeiten für beliebige Ereignisse
hat man selbst bei Produktmaßen gemäß
(4.4.1) bzw. (4.6.1) vorzugehen.
In der Folge betrachten wir über dem Produktausgangsraum
ein W-Maß P, das fallweise im Sinne der
Spezialisierung auch als Produkt-W-Maß vorausgesetzt wird.
Sei und 
. Dann meint
den 
-Schnitt der Menge A an der Stelle
, vgl. 1.3.1. Sind , i=1,2 und mithin A
diskrete Mengen, so gilt
Damit erhält man aufgrund der Abzählbarkeit von A bzw. der
-Additivität von P
bzw. in dem man den Rechtsterm von (7.6) weiterentwickelt
Gilt für A insbesondere mit 
und
, so ergibt sich aus (7.6), in dem man den
dortigen Rechtsterm unter Beachtung von (1.4.2.3)
weiterentwickelt
Man beachtet, daß mit der im vorletzten Rechtsterm von (7.8)
auftretenden Indikatorfunktion 
die Fallunterscheidung in
1.4.2.3 aufgefangen wird.
Ist dann P insbesondere das Produktmaß über
, so ergibt sich aus 7.6 durch Entwicklung
des dortigen Rechtstermes
Setzt man schließlich , so ist man -- was Sie bitte
beweisen wollen -- auf (7.3.1) zurückgeführt.
