Wahrscheinlichkeitstheorie I
Erklären Sie die Begriffe Zufallsexperiment, Ausgangsraum,
Elementarereignis, (zufälliges) Ereignis, Mengensystem, Ereignissystem, relative
Häufigkeit.
Zufallsexperiment:
Ein im Prinzip beliebig oft wiederholbarer Vorgang mit ungewissem Ausgang.
Zum Beispiel das Werfen von Münzen, Würfeln oder das Ziehen von Kugeln aus einer
Urne.Ausgangsraum:
Ist eine Menge mit ® Elementarereignissen.
Also die Menge der möglichen Ausgänge. Zum Beispiel W
1:={1,2,3,4,5,6} beim Werfen eines Würfels. Oder W 2:={tÎ R | t>0} für
die Brenndauer einer Glühbirne.Elementarereignis:
Das sind Elemente der Ausgangsraums.(zufälliges)
Ereignis:
Ein Ereignis ist in der Regel eine Teilmenge des Ausgangsraums, da man
nicht ein Ereignis isoliert betrachten will. Zum Beispiel wann ist die Summe
zweier Würfel größer 9. Das (zufällige) Ereignis wäre dann mit dem Ausgangsraum
W :={(i,j)Î N´ N | 1£ i£
6, 1£ j£ 6 } entsprechend
A:={ (i,j)Î W |
i+j>9 }.Mengensystem:
Eine Menge K von Mengen mit K¹ Æ nennt man (Mengen-)
System.Ereignissystem:
In der Regel ist das Ereignissystem des Ausgangsraums W die Potenzmenge P(W ). Tatsächlich
werden jedoch nicht alle Teilmengen von W als
Ereignisse zugelassen, da es hier unter Umständen logische Schwierigkeiten
gibt.relative Häufigkeit:
Wird eine Versuchsreihe vom Umfang n ausgeführt und tritt dabei k-mal das
Ereignis A auf, dann ist die relative Häufigkeit definiert durch hn(A)=.
Was ist limes inferior und limes
superior?
Definition Mengenfolge:
Sei I eine nichtleere Menge, K ein Mengensystem und f:I® K eine Abbildung, die jedem iÎ I
ein Element f(i):=AiÎ K, also eine Menge,
zuordnet, dann nennt man (Ai | iÎ I) eine
Mengenfamilie.
Eine Mengenfamilie (Ai | iÎ N) nennt man
eine Mengenfolge aus K.
Sei (An) eine Mengenfolge in W .
- Die Menge aller Punkte w Î W , die für fast alle nÎ N Elemente der Menge An sind, heißt der Limes
inferior der Mengenfolge (An). Man schreibt dafür lim
An oder lim inf An. Es gilt lim An=
- Die Menge aller Punkte w Î W , die für unendlich viele nÎ
N Elemente der Menge An sind, heißt der Limes superior der Mengenfolge
(An). Man schreibt dafür An
oder lim sup An. Es gilt lim sup An=
Bemerkung: offenbar gilt lim inf An Ì lim sup An.
Wann heißt eine Mengenfolge isoton, antiton,
monoton?
Eine Mengenfolge An heißt:
isoton, wenn An Ì
An+1 nÎ N
antiton, wenn An+1 Ì An
nÎ N
monoton, wenn (An) isoton oder antiton
ist.
Bemerkung: Eine Mengenfolge (An) nennt man konvergent,
wenn lim sup An = lim inf An = An. Ist die Mengenfolge (An) isoton,
dann gilt An = È An. Ist die Mengenfolge
(An) antiton, dann gilt An
= Ç An.
Wie ist die Indikatorfunktion definiert?
Sei A eine Teilmenge von W . Die Funktion
1A : W ® R mit
heißt Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion von A.
Was ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum?
Ein Tripel (W ,A,P) heißt diskreter
Wahrscheinlichkeitsraum wenn gilt:
- W ist eine nichtleere, abzählbare oder endliche
Menge
- A ist die Potenzmenge P(W ) von W
- P:A® R ist eine Abbildung mit folgenden
Eigenschaften:
- P(A)³ 0; AÎ A
(Nichtnegativität)
- P(W )=1 (Normiertheit)
- Für jede Mengenfolge (An) paarweise fremder Mengen aus A
gilt:
(s -Additivität)
Bemerkung: P ist eine Mengenfunktion. P ordnet also nicht nur
Elementen aus A einen nichtnegativen Wert zu, sondern auch Teilmengen. P
heißt ein W-Maß (auf W ).
Was ist ein W-Funktion?
Sei W eine nichtleere, abzählbare Menge.
Eine Funktion w: W ®
[0,1] heißt W-Funktion (auf W ), wenn
gilt.
Sei P ein W-Maß (auf W ). Die durch
w(w ).=P({w }) (w Î W
)definierte W-Funktion w auf W heißt
W-Funktion von P.
Wie lauten die Definitionen für die Diskrete
Gleichverteilung, Binomialverteilung und Poisonverteilung?
Diskrete Gleichverteilung:
Sei W = Nn und gilt P({k})=const. für
alle kÎ W , so ist
P({k}):=. Hat das Ereignis A Ì W genau l Elemente, also l=|A|, dann gilt
P(A):=.
Da
Binomialverteilung:
Sei W =
und q=1-p, dann ist durch
eine
W-Funktion auf W definiert. Denn wegen
ist durch die W-Funktion w(k) mit nÎ N und pÎ [0,1] ein W-Maß P
definiert. Dieses W-Maß nennt man die Binomialverteilung.
Poisson-Verteilung:
Sei W =N0 und l >0. Dann wird durch
(kÎ N0)eine W-Funktion
auf W definiert, da
gilt. Das durch die W-Funktion w(k) definierte W-Maß
heißt Poisson-Verteilung.
Was ist ein (Mengen-) Halbring?
Ein System S von Teilmengen einer Menge W heißt
(Mengen-) Halbring (über W ) wenn
- A,B Î S Þ A Ç B Î S
- A,B Î S Þ A - B
=
mit Ci paarweise fremde Mengen aus S
gilt.
Bemerkung: A-B=A Ç Bc. Ein
Mengenhalbring ist nichtleer, da S¹ Æ nach Definition gilt. Also gibt es mindestens ein Element
AÎ S und wegen A-A=Æ gilt
Æ Î S.
Was ist ein (Mengen-) Ring, bzw. eine (Mengen-)
Algebra?
Ein System R von Teilmengen einer Menge W heißt
ein (Mengen-) Ring (über W ) wenn
- A,B Î R Þ A È B Î R
- A,B Î R Þ A - B Î R
gilt.
Ist darüberhinaus W Î R, so
spricht man von einer (Mengen-) Algebra (über W
).
Was ist eine s
-Algebra?
- Ein System A von Teilmengen einer Menge W
heißt s -Algebra (über W ) wenn gilt:
- A Î A Þ
Ac Î A
- für jeden Folge (An) von Mengen aus A liegt
in A.
- Ist A eine s -Algebra über W , so heißt (W , A) ein
Meßraum. Die Elemente von A heißen (A-) meßbare Mengen
oder Ereignisse.
Zusatz: ausführlichere Definition einer s
-Algebra:
Gegeben sei ein Menge W . Ein nichtleeres System S
von Teilmengen M heißt genau dann eine s
-Algebra, wenn folgendes gilt:
- W Î S und Æ Î S
- A, B Î S Þ A È B Î S, A Ç B Î S, A - B Î S
- A1, A2, A3, .... Î S Þ
Wenn nur (a), (b) erfüllt ist, spricht man von einer Algebra.
Wie ist die Spur einer s -Algebra definiert?
Sei A eine s -Algebra über W und B Ì W
. Dann ist B Ç A := {B Ç A | A Î A} eine s -Algebra über B. B Ç A
heißt die Spur von A in B.
Was ist das Erzeugendensystem einer s -Algebra ausführlich?
Für jedes Mengensystem K über W existiert eine
kleinste s -Algebra s W (K) über W , die K enthält. Das
heißt also für jede s -Algebra A über W mit K Ì A gilt K Ì s W (K)
Ì A. s W (K) heißt die von K erzeugt s
-Algebra.
Begründung:
Sei T eine nichtleere, beliebige Indexmenge T. (At | t
Î T) ist eine Familie von s
-Algebren über W .
Dann ist
wieder eine s -Algebra über W .
Ist nun K ein Mengensystem über W , so gibt es mit
P(W ) immer eine s
-Algebra über W , die K enthält. Ist nun s W (K) der Durchschnitt aller s -Algebren über W , die K
enthalten, dann ist s W (K)
wieder eine s -Algebra über W
. Es gilt also für jede s -Algebra A (über W ) K Ì s
W (K) Ì A.
Wie ist die Borelsche s -Algebra (über Rn) definiert?
Sei W =Rn und In der
Halbring der rechts halboffenen Intervalle im Rn. Dann heißt die von
In erzeugte s -Algebra
Bn := s
Rn(In)die Borelsche s -Algebra (über Rn)
Bemerkung: Definitionsgemäß ist also die Borelsche s -Algebra (über Rn), die kleinste s -Algebra , die alle offenen Teilmengen des Rn
enthält.
Wie ist der Wahrscheinlichkeitsraum (W-Raum)
definiert?
Ein Tripel (W , A, P) heißt W-Raum,
wenn gilt:
- W ist ein nichtleere Menge
- A ist eine s -Algebra über W
- P: A ® R ist eine Abbildung mit folgenden
Eigenschaften:
- P(A) ³ 0 (A Î
A) (Nichtnegativität)
- P(W )=1 (Normiertheit)
- für jeden Folge (An | nÎ N)
paarweise fremder Mengen aus A gilt:
(s -Additivität)
P heißt dann W-Maß auf der
s -Algebra A über W
oder kurz W-Maß (auf A).
Was ist ein Maß, was ein Maßraum?
- Sei K ein Mengensystem über W . Eine Abbildung
m : K ®
heißt
ein Maß auf K, wenn gilt:
- m (Æ ) = 0
- m (A) ³ 0 (A Î K)
- für jeden Folge (An | nÎ N) paarweise
fremder Mengen aus K mit
ist
- Ist das Mengensystem K speziell eine s -Algebra
A, so heißt das Tripel (W , A, m ) ein Maßraum.
Was ist ein Inhalt?
Sei K ein Mengensystem über W mit Æ Î W . Eine
Abbildung
heißt Inhalt auf K, wenn gilt:
- m (Æ ) = 0
- m (A) ³ 0 (A Î K)
- für endlich viele paarweise fremde Mengen A1, A2,
..., An mit
ist
(endliche Additivität)
Wann heißt ein Inhalt
endlich?
Da ein Inhalt auf die erweiterten reellen Zahlen definiert ist, heißt ein
Inhalt endlich, wenn für alle AÎ K gilt: m (A) < ¥ gilt.
Was versteht man unter Produktmeßräumen?
Seien mit
Meßräume. Unter dem Produktmeßraum der Meßräume versteht
man das Tupel (W , A) mit:
und
wobei
ist.
Wann heißt ein Inhalt m stetig von unten, stetig von oben, Æ -Stetig?
Sei m ein Inhalt auf einen Ring  :
stetig von unten, falls gilt:
An Î Â , (n
Î N), An A
Î Â Þ
lim m (An) = m
(A)stetig von oben, falls gilt:
An Î Â , (n
Î N), An ¯ A Î Â , m
(An) < ¥ Þ lim
m (An) = m
(A)Æ -Stetig, falls gilt:
An Î Â , (n
Î N), An ¯ Æ Î Â ,
m (An) < ¥ Þ lim m (An) = 0
Wann heißt ein Maß s -endlich?
Sei m ein Maß auf einem Mengensystem K über W . m heißt s -endlich auf K, wenn es eine Folge (An)
von Mengen aus K mit An W und m (An) < ¥ gibt.
Wie erzeugt man aus einem Halbring einen Ring?
Mit dem von Halbring S über W erzeugten Ring r (S) über W mit
besteht dieser aus allen endlichen Summen paarweise
fremder Mengen aus S.
Wie lauten die zwei Fortsetzungssätze und wozu
dienen diese?
- Fortsetzungssatz:
Sei m ein Maß (Inhalt) auf einem Halbring S, dann
existiert eine eindeutige Fortsetzung von m zu einem
Maß (Inhalt) auf dem von S erzeugten Ring r (S).
Diese Fortsetzung n von m
wird geliefert durch:
wobei mit (n Î N) und paarweise fremden Ai Î S (iÎ Nn) das nach
Satz 2.1.18 das allgemeine Element aus r (S) ist.
- Fortsetzungssatz:
Ist m ein Maß auf auf einem Ring R, so kann dieses
auf die von R erzeugte s -Algebra fortgesetzt werden.
Eine Fortsetzung von von m auf s (R) wird geliefert durch:
, (An) Mengenfolge aus R}
Ist m s -endlich auf R, so ist n die einzige Fortsetzung zu einem Maß auf s (R).
Mit den Fortsetzungssätzen kann man durch Anwenden des 1. und
2. Fortsetzungssatzes ein Maß auf einen Halbring zu einem Maß auf eine s -Algebra fortsetzen.
Wie erhält man das Borel-Lebesgue-Maß (BL-Maß)?
Durch zweimalige eindeutige Fortsetzung von
gewonnene Maß auf Bn heißt das
Borel-Lebesque-Maß auf Bn. Es wird mit l
n bezeichnet.
Was ist die Verteilungsfunktion von P?
Ist P ein W-Maß auf der Borelschen s -Algebra B,
so heißt die durch
definierte Funktion die
Verteilungsfunktion von P.
Welche Eigenschaften besitzt die
Verteilungsfunktion?
Die Verteilungsfunktion FP eines W-Maßes P auf B besitzt
folgende Eigenschaften:
- FP ist monoton wachsend, also
- FP ist linksseitig stetig
-
-
Welche Eigenschaften muß eine Funktion F: R ® R
besitzen, damit sie Verteilungsfunktion eines W-Maßes ist?
- Zu jeder monoton wachsenden, linksseitig stetigen Funktion F: R ® R existiert genau ein Maß m
F auf B derart, daß m
F([a,b))=F(b)-F(a); (a,bÎ R, a £ b) gilt.
- Ist überdies und
, so ist m F ein W-Maß und F seine
Verteilungsfunktion.
Was ist der Unterschied zwischen einer Verteilung und einer
Verteilungsfunktion?
Ein Verteilungsfunktion ist eine Abbildung. Ein Verteilung ist eine
Mengenfunktion.
Kann die Verteilungsfunktion eines W-Maßes auf B
auch monoton fallend sein?
Nein! Da für ein Maß die positive Definitheit gefordert ist. Wäre m F das Maß, so würde wegen m F([a,b))=F(b)-F(a) folgen, daß m F £ 0 ist.
Wieso muß für eine Verteilungsfunktion F und
folgen, damit m F ein W-Maß ist?
Nach Definition muß für ein W-Maß m F
gelten, daß m F(R)=1 und wegen 1=m F(R)= m
F(R+Æ +Æ +...+Æ )=m F(R)+¥ * m F(Æ )=1*¥ *0=1, also m F(Æ )=0 die Grenzwerte
entsprechend gelten.
Man betrachtet eine monoton wachsende Zahlenfolge (xn) mit Dann gilt .
Wegen der linksseitigen Stetigkeit folgt dann
Analog betrachtet man eine monoton fallende Zahlenfolge (xn)
mit
Wann heißt eine Abbildung T A-A´
meßbar?
Seien (W , A) und (W ´,
A´) Meßräume. Eine Abbildung T: W ® W ´ heißt A-A´ meßbar, oder
eine (A-A´) - Zufallsvariable, wenn eine der folgenden äquivalenten
Bedingungen erfüllt ist:
- (A´Î A´)
-
Sind Produktabbildungen meßbar?
Seien mit Abbildungen und
die Produktabbildungen der , dann sind die
Abbildungen genau dann
meßbar, wenn f meßbar ist.
Was ist ein Bildmaß?
Sei eine meßbare
Abbildung und m ein Maß auf A. Das durch
(A' Î A)definierte Maß m ' heißt das Bild oder das Bildmaß von m (bei T). Für m ' schreibt man auch
T(m ) oder m T.
Was ist der Unterschied zwischen einer reellen
Funktion und einer numerischen Funktion?
Eine reelle Funktion ist eine Abbildung . Wobei hingegen
eine numerische Funktion eine Abbildung ist,
mit
Wann ist eine numerische Funktion meßbar?
Sei (W ,A) ein Meßraum. Eine numerische Funktion f
ist auf W genau dann A-meßbar, wenn eine der
folgenden Bedingungen erfüllt ist:
- (cÎ R)
- (cÎ R)
- (cÎ R)
-
(cÎ R)
Warum ist jede monotone reelle Funktion meßbar?
Sei F ohne Beschränkung der Allgemeinheit monoton wachsend. Man definiert
mit cÎ R die Menge .Wegen Æ Î B ist Ac o.B.d.A
Ac ¹ Æ . Dann gilt
für wegen der Monotonie von F
Folglich ist nach 3.3.1 (4) die Abbildung meßbar.
Wie ist die Verteilung einer ZV definiert?
Sei eine ZV. Das
Bildmaß PX von P (bei X) heißt die (W-) Verteilung von X
(bezüglich P). Es gilt:
Wie ist der Erwartungswert einer ZV X mit endlichen
Wertevorrat definiert?
Sie ein W-Raum
und eine ZV mit endlichen Wertevorrat , dann heißt die
reelle Zahl
der Erwartungswert von X (bezüglich P).
Wie sind die elementaren Funktionen definiert und
wie lauten Ihre Normaldarstellungen?
Sei (W ,A) ein Meßraum. Eine meßbare
Abbildung heißt (A-)
elementare Funktion (oder (A-) Elementarfunktion) auf W
, wenn Sie nichtnegativ ist und nur endlich viele Werte annimmt. Die Menge
der A-elementaren Funktion auf W bezeichnen wir mit
E(W ,A)=E(A)=E.
Die Normaldarstellung lautet:
Hat die elementare Funktion e den Wertevorrat mit , so
folgt wegen der Meßbarkeit der Funktion e
Wie ist das m
-Integral einer elementaren Funktion definiert?
Ist (W ,A,m ) ein
Maßraum und eine elementare
Funktion mit der Normaldarstellung
so heißt die von der speziell gewählten Normaldarstellung
unabhängige, erweiterte reelle Zahl
daß m -Integral von e.
Wie ist das Integral einer nichtnegativen, meßbaren
Abbildung mit abzählbaren Wertevorrat definiert?
Sei eine
nichtnegative, meßbare Abbildung mit abzählbaren Wertevorrat mit
und und m ein Maß auf A, dann gilt:
Wie lautet der Satz der monotonen
Konvergenz (Beppo Levi)?
Sei ein Maßraum
und eine monoton nichtfallende Folge A-meßbarer Funktionen
und . Dann gilt:
Wie ist die Nullmenge und "Fast überall"
definiert?
Sei (W ,A,m ) ein
Maßraum. Unter einer (m -) Nullmenge N versteht
man die Menge NÎ A mit
Sei (W ,A,m ) ein Maßraum
und E(w ) eine für jedes w
Î W erklärte Eigenschaft. Wir
sagen "E besteht (m -) fast überall, wenn
E(w ) außerhalb einer m
-Nullmenge besteht. D.h. und E(w ) besteht für alle
Wie lautet der Satz der majorisierten
Konvergenz?
Seien (W ,A,m ) ein
Maßraum und (fn) eine m -f.ü. auf W konvergente Folge aus . Existiert
ein mit
so gilt (nÎ N) und es gibt ein (relles) derart, daß
(fn) m -f.ü. gegen f konvergiert, und es
gilt:
Wie kann man ein Maß auf A erklären?
Seien (W ,A,m ) ein
Maßraum und fÎ M+. Dann ist durch
(AÎ A)ein Maß n auf A erklärt.
Wie ist die Dichte definiert?
Seien (W ,A) ein Meßraum und m ,n Maße auf A. Eine
Funktion heißt eine
m -Dichte von n , falls gilt:
In Zeichen ausgedrückt:
Wie ist die Dichte eines diskreten
W-Raums definiert?
Sei (W ,P(W ),P) ein
diskreter W-Raum. Dann ist die W-Funktion w von P eine
Dichte von P bezüglich des W -Zählmaßes m auf P(W ).
Was ist eine Normalverteilung, was die
Standard-Normalverteilung?
Sei (W ,A)=(R,B)=l
(BL-Maß), mit
Dann ist ein W-Maß auf
B, welches als Normalverteilung mit den
Parametern a und s 2 bezeichnet wird.
f ist demnach eine (l )-Dichte von .
Für a=0 und s 2=1 spricht man
von als der Standard-Normalverteilung.
Warum spricht man von einer Dichte und nicht von der
Dichte?
Sei (W ,A) ein Meßraum, seien m ,n Maße auf A und f,g
nichtnegative, numerische A-meßbare Funktionen auf W .
Ist n =fm und f=g m -f.ü., so gilt n =fm =gm .
Was ist m -stetig?
Sei (W ,A,m ) ein
Maßraum. Ein Maß n auf A heißt m -stetig, wenn jede m -Nullmenge
auch eine n -Nullmenge ist. Es gilt also:
In Zeichen:
Wie lautet der Satz von Radon-Nikodym?
Seien (W ,A) ein Meßraum, sowie m und n Maße auf A, wobei m s -endlich ist. Dann sind folgende
Aussagen äquivalent:
- besitzt eine m -Dichte;
- ist m -stetig, in Zeichen .
Also:
Diverse "Eigenschaften" von Dichten?
Definition für k-te-Moment, k-te-zentraler-Moment,
Erwartungswert, Standardabweichung und Varianz?
Sei (W ,A,P) ein W-Raum, und .
Ist so heißt
das k-te Moment von X (unter P). Im Fall k=1 heißt
E(X) der Erwartungswert von X.
Ist und so
heißt
das k-te zentrale Moment von X (unter P).
Im Fall k=2 wird die
Varianz von X (unter P) genannt.
Wie lautet der Verschiebungssatz und wie
der Beweis hierzu?
Sei (W ,A,P) ein W-Raum und Dann gilt:
Beweis:
Definiere die Markoffsche- und die
Tschebyscheffsche Ungleichung?
Seien (W ,A,P) ein W-Raum, und .
Dann gilt die Markoffsche Ungleichung:
Für gilt die
Tschebyscheffsche Ungleichung:
Wie lautet die CSB-Ungleichung?
Sei (W ,A,m ) ein
Maßraum. Dann gilt:
Ist mit
und , so tritt in der CSB-Ungleichung genau dann Gleichheit ein, wenn
m -f.ü.gilt.
Wie ist die Kovarianz definiert?
Die ZVen seien
quadratisch integrierbar und V(X), V(Y) ihre Varianzen. Dann heißt
die Kovarianz von X und Y und
der Korrelationskoeffizient von X und Y.
Folgerungen aus der Kovarianz?
Für gilt:
-
-
-
-
- und
Wie lautet die Kovarianzungleichung?
Seien . Dann
gilt:
- (Kovarianzungleichung)
-
-
zum
Prüfungsprotokoll von Prof. Moeschlin