Wahrscheinlichkeitstheorie I

Erklären Sie die Begriffe Zufallsexperiment, Ausgangsraum, Elementarereignis, (zufälliges) Ereignis, Mengensystem, Ereignissystem, relative Häufigkeit.

Zufallsexperiment: Ein im Prinzip beliebig oft wiederholbarer Vorgang mit ungewissem Ausgang. Zum Beispiel das Werfen von Münzen, Würfeln oder das Ziehen von Kugeln aus einer Urne.Ausgangsraum: Ist eine Menge mit ® Elementarereignissen. Also die Menge der möglichen Ausgänge. Zum Beispiel W 1:={1,2,3,4,5,6} beim Werfen eines Würfels. Oder W 2:={tÎ R | t>0} für die Brenndauer einer Glühbirne.Elementarereignis: Das sind Elemente der Ausgangsraums.(zufälliges) Ereignis: Ein Ereignis ist in der Regel eine Teilmenge des Ausgangsraums, da man nicht ein Ereignis isoliert betrachten will. Zum Beispiel wann ist die Summe zweier Würfel größer 9. Das (zufällige) Ereignis wäre dann mit dem Ausgangsraum W :={(i,j)Î N´ N | 1£ i£ 6, 1£ j£ 6 } entsprechend A:={ (i,j)Î W | i+j>9 }.Mengensystem: Eine Menge K von Mengen mit K¹ Æ nennt man (Mengen-) System.Ereignissystem: In der Regel ist das Ereignissystem des Ausgangsraums W die Potenzmenge P(W ). Tatsächlich werden jedoch nicht alle Teilmengen von W als Ereignisse zugelassen, da es hier unter Umständen logische Schwierigkeiten gibt.relative Häufigkeit: Wird eine Versuchsreihe vom Umfang n ausgeführt und tritt dabei k-mal das Ereignis A auf, dann ist die relative Häufigkeit definiert durch hn(A)=.

 

Was ist limes inferior und limes superior? Definition Mengenfolge: Sei I eine nichtleere Menge, K ein Mengensystem und f:I® K eine Abbildung, die jedem iÎ I ein Element f(i):=AiÎ K, also eine Menge, zuordnet, dann nennt man (Ai | iÎ I) eine Mengenfamilie.

Eine Mengenfamilie (Ai | iÎ N) nennt man eine Mengenfolge aus K.

 

Sei (An) eine Mengenfolge in W .
  1. Die Menge aller Punkte w Î W , die für fast alle nÎ N Elemente der Menge An sind, heißt der Limes inferior der Mengenfolge (An). Man schreibt dafür lim An oder lim inf An. Es gilt lim An
  2. Die Menge aller Punkte w Î W , die für unendlich viele nÎ N Elemente der Menge An sind, heißt der Limes superior der Mengenfolge (An). Man schreibt dafür An oder lim sup An. Es gilt lim sup An=
Bemerkung: offenbar gilt lim inf An Ì lim sup An.

 

Wann heißt eine Mengenfolge isoton, antiton, monoton? Eine Mengenfolge An heißt: isoton, wenn An Ì An+1 nÎ N

antiton, wenn An+1 Ì An nÎ N

monoton, wenn (An) isoton oder antiton ist.

Bemerkung: Eine Mengenfolge (An) nennt man konvergent, wenn lim sup An = lim inf AnAn. Ist die Mengenfolge (An) isoton, dann gilt An = È An. Ist die Mengenfolge (An) antiton, dann gilt An = Ç An.

 

Wie ist die Indikatorfunktion definiert? Sei A eine Teilmenge von W . Die Funktion 1A : W ® R mit

heißt Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion von A.

 

Was ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum? Ein Tripel (W ,A,P) heißt diskreter Wahrscheinlichkeitsraum wenn gilt:
  1. W ist eine nichtleere, abzählbare oder endliche Menge
  2. A ist die Potenzmenge P(W ) von W
  3. P:A® R ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
    1. P(A)³ 0; AÎ A (Nichtnegativität)
    2. P(W )=1 (Normiertheit)
    3. Für jede Mengenfolge (An) paarweise fremder Mengen aus A gilt: 
(s -Additivität) Bemerkung: P ist eine Mengenfunktion. P ordnet also nicht nur Elementen aus A einen nichtnegativen Wert zu, sondern auch Teilmengen. P heißt ein W-Maß (auf W ).

 

Was ist ein W-Funktion? Sei W eine nichtleere, abzählbare Menge.

Eine Funktion w: W ® [0,1] heißt W-Funktion (auf W ), wenn  gilt.

Sei P ein W-Maß (auf W ). Die durch

w(w ).=P({w }) (w Î W )definierte W-Funktion w auf W heißt W-Funktion von P.

 

Wie lauten die Definitionen für die Diskrete Gleichverteilung, Binomialverteilung und Poisonverteilung?

Diskrete Gleichverteilung: Sei W = Nn und gilt P({k})=const. für alle kÎ W , so ist P({k}):=. Hat das Ereignis A Ì W genau l Elemente, also l=|A|, dann gilt P(A):=.

Da 

 

Binomialverteilung: Sei W = und q=1-p, dann ist durch   eine W-Funktion auf W definiert. Denn wegen ist durch die W-Funktion w(k) mit nÎ N und pÎ [0,1] ein W-Maß P definiert. Dieses W-Maß nennt man die Binomialverteilung.

 

Poisson-Verteilung: Sei W =N0 und l >0. Dann wird durch (kÎ N0)eine W-Funktion auf W definiert, da gilt. Das durch die W-Funktion w(k) definierte W-Maß heißt Poisson-Verteilung.

 

Was ist ein (Mengen-) Halbring? Ein System S von Teilmengen einer Menge W heißt (Mengen-) Halbring (über W ) wenn
    1. A,B Î S Þ A Ç B Î S
    2. A,B Î S Þ A - B = 
mit Ci paarweise fremde Mengen aus S gilt.

Bemerkung: A-B=A Ç Bc. Ein Mengenhalbring ist nichtleer, da S¹ Æ nach Definition gilt. Also gibt es mindestens ein Element AÎ S und wegen A-A=Æ gilt Æ Î S.

 

Was ist ein (Mengen-) Ring, bzw. eine (Mengen-) Algebra? Ein System R von Teilmengen einer Menge W heißt ein (Mengen-) Ring (über W ) wenn
    1. A,B Î R Þ A È B Î R
    2. A,B Î R Þ A - B Î R
gilt.

Ist darüberhinaus W Î R, so spricht man von einer (Mengen-) Algebra (über W ).

 

Was ist eine s -Algebra?
  1. Ein System A von Teilmengen einer Menge W heißt s -Algebra (über W ) wenn gilt:
    1. A Î A Þ Ac Î A
    2. für jeden Folge (An) von Mengen aus A liegt 
in A.
  1. Ist A eine s -Algebra über W , so heißt (W , A) ein Meßraum. Die Elemente von A heißen (A-) meßbare Mengen oder Ereignisse.
Zusatz: ausführlichere Definition einer s -Algebra: Gegeben sei ein Menge W . Ein nichtleeres System S von Teilmengen M heißt genau dann eine s -Algebra, wenn folgendes gilt:
    1. W Î S und Æ Î S
    2. A, B Î S Þ A È B Î S, A Ç B Î S, A - B Î S
    3. A1, A2, A3, .... Î S Þ 
Wenn nur (a), (b) erfüllt ist, spricht man von einer Algebra.

 

Wie ist die Spur einer s -Algebra definiert? Sei A eine s -Algebra über W und B Ì W . Dann ist B Ç A := {B Ç A | A Î A} eine s -Algebra über B. B Ç A heißt die Spur von A in B.

 

Was ist das Erzeugendensystem einer s -Algebra ausführlich? Für jedes Mengensystem K über W existiert eine kleinste s -Algebra s W (K) über W , die K enthält. Das heißt also für jede s -Algebra A über W mit K Ì A gilt K Ì s W (K) Ì A. s W (K) heißt die von K erzeugt s -Algebra.

Begründung:

Sei T eine nichtleere, beliebige Indexmenge T. (At | t Î T) ist eine Familie von s -Algebren über W .

Dann ist

wieder eine s -Algebra über W .

Ist nun K ein Mengensystem über W , so gibt es mit P(W ) immer eine s -Algebra über W , die K enthält. Ist nun s W (K) der Durchschnitt aller s -Algebren über W , die K enthalten, dann ist s W (K) wieder eine s -Algebra über W . Es gilt also für jede s -Algebra A (über W ) K Ì s W (K) Ì A.

 

Wie ist die Borelsche s -Algebra (über Rn) definiert? Sei W =Rn und In der Halbring der rechts halboffenen Intervalle im Rn. Dann heißt die von In erzeugte s -Algebra Bn := s Rn(In)die Borelsche s -Algebra (über Rn)

Bemerkung: Definitionsgemäß ist also die Borelsche s -Algebra (über Rn), die kleinste s -Algebra , die alle offenen Teilmengen des Rn enthält.

 

Wie ist der Wahrscheinlichkeitsraum (W-Raum) definiert? Ein Tripel (W , A, P) heißt W-Raum, wenn gilt:
    1. W ist ein nichtleere Menge
    2. A ist eine s -Algebra über W
    3. P: A ® R ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
    1. P(A) ³ 0 (A Î A) (Nichtnegativität)
    2. P(W )=1 (Normiertheit)
    3. für jeden Folge (An | nÎ N) paarweise fremder Mengen aus A gilt:
(s -Additivität) P heißt dann W-Maß auf der s -Algebra A über W oder kurz W-Maß (auf A).

 

Was ist ein Maß, was ein Maßraum?
  1. Sei K ein Mengensystem über W . Eine Abbildung m : K ® 
heißt ein Maß auf K, wenn gilt:
    1. m (Æ ) = 0
    2. m (A) ³ 0 (A Î K)
    3. für jeden Folge (An | nÎ N) paarweise fremder Mengen aus K mit 
ist
  1. Ist das Mengensystem K speziell eine s -Algebra A, so heißt das Tripel (W , A, m ) ein Maßraum.
 

Was ist ein Inhalt?

Sei K ein Mengensystem über W mit Æ Î W . Eine Abbildung  heißt Inhalt auf K, wenn gilt:
    1. m (Æ ) = 0
    2. m (A) ³ 0 (A Î K)
    3. für endlich viele paarweise fremde Mengen A1, A2, ..., An mit 
ist (endliche Additivität)

 

Wann heißt ein Inhalt endlich? Da ein Inhalt auf die erweiterten reellen Zahlen definiert ist, heißt ein Inhalt endlich, wenn für alle AÎ K gilt: m (A) < ¥ gilt.

 

Was versteht man unter Produktmeßräumen?

Seien mit  Meßräume. Unter dem Produktmeßraum der Meßräume versteht man das Tupel (W , A) mit: und 

wobei

ist.

 

Wann heißt ein Inhalt m stetig von unten, stetig von oben, Æ -Stetig? Sei m ein Inhalt auf einen Ring  : stetig von unten, falls gilt: An Î Â , (n Î N), An ­ A Î Â Þ lim m (An) = m (A)stetig von oben, falls gilt: An Î Â , (n Î N), An ¯ A Î Â , m (An) < ¥ Þ lim m (An) = m (A)Æ -Stetig, falls gilt: An Î Â , (n Î N), An ¯ Æ Î Â , m (An) < ¥ Þ lim m (An) = 0

 

Wann heißt ein Maß s -endlich? Sei m ein Maß auf einem Mengensystem K über W . m heißt s -endlich auf K, wenn es eine Folge (An) von Mengen aus K mit An ­ W und m (An) < ¥ gibt.

 

Wie erzeugt man aus einem Halbring einen Ring? Mit dem von Halbring S über W erzeugten Ring r (S) über W mit besteht dieser aus allen endlichen Summen paarweise fremder Mengen aus S.

 

Wie lauten die zwei Fortsetzungssätze und wozu dienen diese?
  1. Fortsetzungssatz:

    Sei m ein Maß (Inhalt) auf einem Halbring S, dann existiert eine eindeutige Fortsetzung von m zu einem Maß (Inhalt) auf dem von S erzeugten Ring r (S). Diese Fortsetzung n von m wird geliefert durch:

    wobei  mit (n Î N) und paarweise fremden Ai Î S (iÎ Nn) das nach Satz 2.1.18 das allgemeine Element aus r (S) ist.

  2. Fortsetzungssatz:
Ist m ein Maß auf auf einem Ring R, so kann dieses auf die von R erzeugte s -Algebra fortgesetzt werden. Eine Fortsetzung von von m auf s (R) wird geliefert durch: , (An) Mengenfolge aus R} Ist m s -endlich auf R, so ist n die einzige Fortsetzung zu einem Maß auf s (R).

 

Mit den Fortsetzungssätzen kann man durch Anwenden des 1. und 2. Fortsetzungssatzes ein Maß auf einen Halbring zu einem Maß auf eine s -Algebra fortsetzen.

 

Wie erhält man das Borel-Lebesgue-Maß (BL-Maß)? Durch zweimalige eindeutige Fortsetzung von   gewonnene Maß auf Bn heißt das Borel-Lebesque-Maß auf Bn. Es wird mit l n bezeichnet.

 

Was ist die Verteilungsfunktion von P? Ist P ein W-Maß auf der Borelschen s -Algebra B, so heißt die durch   definierte Funktion die Verteilungsfunktion von P.

 

Welche Eigenschaften besitzt die Verteilungsfunktion? Die Verteilungsfunktion FP eines W-Maßes P auf B besitzt folgende Eigenschaften:
  1. FP ist monoton wachsend, also 
  2. FP ist linksseitig stetig
 

Welche Eigenschaften muß eine Funktion F: R ® R besitzen, damit sie Verteilungsfunktion eines W-Maßes ist?

  1. Zu jeder monoton wachsenden, linksseitig stetigen Funktion F: R ® R existiert genau ein Maß m F auf B derart, daß m F([a,b))=F(b)-F(a); (a,bÎ R, a £ b) gilt.
  2. Ist überdies und 
, so ist m F ein W-Maß und F seine Verteilungsfunktion.

Was ist der Unterschied zwischen einer Verteilung und einer Verteilungsfunktion?

Ein Verteilungsfunktion ist eine Abbildung. Ein Verteilung ist eine Mengenfunktion.

 

Kann die Verteilungsfunktion eines W-Maßes auf B auch monoton fallend sein? Nein! Da für ein Maß die positive Definitheit gefordert ist. Wäre m F das Maß, so würde wegen m F([a,b))=F(b)-F(a) folgen, daß m F £ 0 ist.

 

Wieso muß für eine Verteilungsfunktion F und  folgen, damit m F ein W-Maß ist? Nach Definition muß für ein W-Maß m F gelten, daß m F(R)=1 und wegen 1=m F(R)= m F(R+Æ +Æ +...+Æ )=m F(R)+¥ * m F(Æ )=1*¥ *0=1, also m F(Æ )=0 die Grenzwerte entsprechend gelten. Man betrachtet eine monoton wachsende Zahlenfolge (xn) mit  Dann gilt . Wegen der linksseitigen Stetigkeit folgt dann 

Analog betrachtet man eine monoton fallende Zahlenfolge (xn) mit 

 

Wann heißt eine Abbildung T A-A´ meßbar? Seien (W , A) und (W ´, A´) Meßräume. Eine Abbildung T: W ® W ´ heißt A-A´ meßbar, oder eine (A-A´) - Zufallsvariable, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
  1. (A´Î A´)
 

Sind Produktabbildungen meßbar?

Seien mit Abbildungen und die Produktabbildungen der , dann sind die Abbildungen  genau dann meßbar, wenn f meßbar ist.

 

Was ist ein Bildmaß? Sei eine meßbare Abbildung und m ein Maß auf A. Das durch (A' Î A)definierte Maß m ' heißt das Bild oder das Bildmaß von m (bei T). Für m ' schreibt man auch T(m ) oder m T.

 

Was ist der Unterschied zwischen einer reellen Funktion und einer numerischen Funktion? Eine reelle Funktion ist eine Abbildung . Wobei hingegen eine numerische Funktion eine Abbildung  ist, mit 

 

Wann ist eine numerische Funktion meßbar? Sei (W ,A) ein Meßraum. Eine numerische Funktion f ist auf W genau dann A-meßbar, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
    1. (cÎ R)
    2. (cÎ R)
    3. (cÎ R)
(cÎ R)

Warum ist jede monotone reelle Funktion meßbar?

Sei F ohne Beschränkung der Allgemeinheit monoton wachsend. Man definiert mit cÎ R die Menge .Wegen Æ Î B ist Ac o.B.d.A Ac ¹ Æ . Dann gilt für  wegen der Monotonie von F Folglich ist nach 3.3.1 (4) die Abbildung meßbar.

 

Wie ist die Verteilung einer ZV definiert?

Sei eine ZV. Das Bildmaß PX von P (bei X) heißt die (W-) Verteilung von X (bezüglich P). Es gilt:

 

 

Wie ist der Erwartungswert einer ZV X mit endlichen Wertevorrat definiert? Sie ein W-Raum und eine ZV mit endlichen Wertevorrat , dann heißt die reelle Zahl der Erwartungswert von X (bezüglich P).

 

Wie sind die elementaren Funktionen definiert und wie lauten Ihre Normaldarstellungen? Sei (W ,A) ein Meßraum. Eine meßbare Abbildung heißt (A-) elementare Funktion (oder (A-) Elementarfunktion) auf W , wenn Sie nichtnegativ ist und nur endlich viele Werte annimmt. Die Menge der A-elementaren Funktion auf W bezeichnen wir mit E(W ,A)=E(A)=E.

Die Normaldarstellung lautet: 

Hat die elementare Funktion e den Wertevorrat mit , so folgt wegen der Meßbarkeit der Funktion e

 

 

Wie ist das m -Integral einer elementaren Funktion definiert? Ist (W ,A,m ) ein Maßraum und eine elementare Funktion mit der Normaldarstellung so heißt die von der speziell gewählten Normaldarstellung unabhängige, erweiterte reelle Zahl daß m -Integral von e.

 

Wie ist das Integral einer nichtnegativen, meßbaren Abbildung mit abzählbaren Wertevorrat definiert? Sei eine nichtnegative, meßbare Abbildung mit abzählbaren Wertevorrat mit  und und m ein Maß auf A, dann gilt:

 

Wie lautet der Satz der monotonen Konvergenz (Beppo Levi)? Sei ein Maßraum und eine monoton nichtfallende Folge A-meßbarer Funktionen  und . Dann gilt:

 

Wie ist die Nullmenge und "Fast überall" definiert? Sei (W ,A,m ) ein Maßraum. Unter einer (m -) Nullmenge N versteht man die Menge NÎ A mit 

Sei (W ,A,m ) ein Maßraum und E(w ) eine für jedes w Î W erklärte Eigenschaft. Wir sagen "E besteht (m -) fast überall, wenn E(w ) außerhalb einer m -Nullmenge besteht. D.h.  und E(w ) besteht für alle 

 

Wie lautet der Satz der majorisierten Konvergenz? Seien (W ,A,m ) ein Maßraum und (fn) eine m -f.ü. auf W konvergente Folge aus . Existiert ein mit   so gilt  (nÎ N) und es gibt ein (relles) derart, daß (fn) m -f.ü. gegen f konvergiert, und es gilt:

 

Wie kann man ein Maß auf A erklären? Seien (W ,A,m ) ein Maßraum und fÎ M+. Dann ist durch (AÎ A)ein Maß n auf A erklärt.

 

Wie ist die Dichte definiert? Seien (W ,A) ein Meßraum und m ,n Maße auf A. Eine Funktion  heißt eine m -Dichte von n , falls gilt:  

In Zeichen ausgedrückt: 

 

Wie ist die Dichte eines diskreten W-Raums definiert? Sei (W ,P(W ),P) ein diskreter W-Raum. Dann ist die W-Funktion w von P eine Dichte von P bezüglich des W -Zählmaßes m auf P(W ).  

 

Was ist eine Normalverteilung, was die Standard-Normalverteilung? Sei (W ,A)=(R,B)=l (BL-Maß),  mit  Dann ist  ein W-Maß auf B, welches als Normalverteilung mit den Parametern a und s 2 bezeichnet wird.

f ist demnach eine (l )-Dichte von .

Für a=0 und s 2=1 spricht man von als der Standard-Normalverteilung.

 

Warum spricht man von einer Dichte und nicht von der Dichte? Sei (W ,A) ein Meßraum, seien m ,n Maße auf A und f,g nichtnegative, numerische A-meßbare Funktionen auf W . Ist n =fm und f=g m -f.ü., so gilt n =fm =gm .

 

Was ist m -stetig? Sei (W ,A,m ) ein Maßraum. Ein Maß n auf A heißt m -stetig, wenn jede m -Nullmenge auch eine n -Nullmenge ist. Es gilt also: In Zeichen: 

 

Wie lautet der Satz von Radon-Nikodym? Seien (W ,A) ein Meßraum, sowie m und n Maße auf A, wobei m s -endlich ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
    1. besitzt eine m -Dichte;
    2. ist m -stetig, in Zeichen . Also: 
 

Diverse "Eigenschaften" von Dichten?

 

Definition für k-te-Moment, k-te-zentraler-Moment, Erwartungswert, Standardabweichung und Varianz? Sei (W ,A,P) ein W-Raum,  und . Ist  so heißt das k-te Moment von X (unter P). Im Fall k=1 heißt E(X) der Erwartungswert von X.

Ist  und  so heißt

das k-te zentrale Moment von X (unter P).

Im Fall k=2 wird  die Varianz von X (unter P) genannt.

 

Wie lautet der Verschiebungssatz und wie der Beweis hierzu? Sei (W ,A,P) ein W-Raum und Dann gilt: Beweis:

 

Definiere die Markoffsche- und die Tschebyscheffsche Ungleichung? Seien (W ,A,P) ein W-Raum, und . Dann gilt die Markoffsche Ungleichung:  Für gilt die Tschebyscheffsche Ungleichung:  

 

Wie lautet die CSB-Ungleichung? Sei (W ,A,m ) ein Maßraum. Dann gilt:

Ist  mit  und , so tritt in der CSB-Ungleichung genau dann Gleichheit ein, wenn

m -f.ü.gilt.

 

Wie ist die Kovarianz definiert? Die ZVen  seien quadratisch integrierbar und V(X), V(Y) ihre Varianzen. Dann heißt die Kovarianz von X und Y und der Korrelationskoeffizient von X und Y.

 

Folgerungen aus der Kovarianz? Für gilt:
    1.  
    2. und 
 

Wie lautet die Kovarianzungleichung?

Seien . Dann gilt:
    1. (Kovarianzungleichung)
 

zum Prüfungsprotokoll von Prof. Moeschlin