Visualisierung des Ortsraumes und des Geschwindigkeitsraumes für ein einfaches Billard

Idee W. Stannat
Algorithmik, Implementierung und digitale Aufnahme E. Grycko
Technisches Management F. Recker, J. Rentmeister

Betrachtet wird ein kreisförmiges Behältnis, in dem 10000 Massenpunkte gemäß der Gleichverteilung positioniert werden. Den Massenpunkten werden initiale Geschwindigkeitsvektoren vom Betrage 1 zugewiesen, deren Polarwinkel der Gleichverteilung auf dem Intervall [0,a] folgen mit a=0.2. Die initiale Verteilung der Polarwinkel der Geschwindigkeitsvektoren unterscheidet sich also signifikant von der Gleichverteilung auf dem Intervall [0,2 \pi ).
Anschließend wird den untereinander nicht interagierenden Mikrobestandteilen die Newtonsche Dynamik auferlegt, die dadurch charakterisiert ist, dass Massenpunkte an den Wänden des Behälnisses reflektiert werden (Einfallswinkel = Ausfallswinkel) und sich ansonsten geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Solche Dynamiken werden auch Billards genannt.
Nachdem die Dynamik gestartet ist, wird zu geeigneten Zeitpunkten die Verteilung des Polarwinkels der Geschwindigkeisvektoren mit Hilfe des Kerndichteschätzers (vgl. Moeschlin et al.(2003), Abschnitt 2.4) statistisch analysiert; diese Dichteschätzungen werden im Diagramm als grüne Kurven ausgegeben.
Das Video ist ein Extrakt aus einem Computerexperiment, dessen Laufzeit dreißig Minuten betrug; es stellt einen empirischen Nachweis für die Konvergenz der Orts- bzw. eschwindigkeitverteilung der Mikrobestandteile gegen die Gleichverteilung auf dem kreisförmigen Behältnis bzw. auf der Einheitssphäre des Geschwindigkeitsraums.
Der Zuschauer ist eingeladen darauf zu achten, dass reguläre Muster beobachtet werden, bevor sich die Gleichverteilungen auf dem Orts-und Geschwindigkeitsraum einstellen.

Verteilung des Polarwinkels der Geschwindigkeitsvektoren
Verteilung des Polarwinkels der Geschwindigkeitsvektoren

Literatur:

  • Gallavotti, G. (1999): Statistical Mechanics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York.
  • Moeschlin, O., E. Grycko, C. Poppinga (2003): Angewandte Statistik. Kurs der FernUniversität, Hagen.
Lehrgebiet Stochastik | 01.07.2019