Evolution der Geschwindigkeitsverteilung in einem Billard

Idee und Spezifizierung der Boltzmann-Gleichung W. Stannat
Algorithmik, Implementierung und digitale Aufnahme E. Grycko
Technisches Management F. Recker, J. Rentmeister

Betrachtet wird ein rechteckiges Behältnis, in dem 40 sich nicht überlappende Kreisscheiben gemäß der Gleichverteilung positioniert werden; eine solche Konfiguration kann auch als Realisation einer Gibbs-Verteilung aufgefasst werden.
Das Behältnis wird anschließend gefüllt mit N=50000 Mikrobestandteilen eines virtuellen Gases, die als Massenpunkte modelliert werden und gemäß der Gleichverteilung positioniert werden. Den Mikrobestandteilen werden initiale Geschwindigkeitsvektoren vom Betrage 1 zugewiesen, deren Polarwinkel der Gleichverteilung auf dem Intervall [0,a] folgen mit a=0.2. Die initiale Verteilung der Polarwinkel der Geschwindigkeitsvektoren unterscheidet sich also signifikant von der Gleichverteilung auf dem Intervall [0,2 \pi ).
Anschließend wird den untereinander nicht interagierenden Mikrobestandteilen die Newtonsche Dynamik auferlegt, die dadurch charakterisiert ist, dass Massenpunkte an den Wänden des Behälnisses und an den kreisförmigen Hindernissen reflektiert werden und sich ansonsten geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Solche Dynamiken werden auch Billards genannt.
Nachdem die Dynamik gestartet ist, wird zu geeigneten Zeitpunkten die Verteilung des Polarwinkels der Geschwindigkeisvektoren mit Hilfe des Kerndichteschätzers (vgl. Moeschlin et al.(2003), Abschnitt 2.4) statistisch analysiert; diese Dichteschätzungen werden im Diagramm als grüne Kurven ausgegeben.

Screenshot zur Geschwindigkeitsevolution in einem Billard
Screenshot zur Geschwindigkeitsevolution in einem Billard

Video:

Das Video ist ein Extrakt aus einem Computerexperiment, dessen Laufzeit drei Stunden betrug; es stellt einen empirischen Nachweis für die Konvergenz der Geschwindigkeitverteilung der Mikrobestandteile gegen die Gleichverteilung auf der Einheitssphäre des Geschwindigkeitsraums - ein Phänomen das aufgrund der zeitasymptotischen Untersuchung einer geeignet linearisierten Boltzmann-Gleichung vorhergesagt werden konnte(vgl. Gallavotti (1999), S. 48ff).

Literatur:

  • Gallavotti, G. (1999): Statistical Mechanics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York.
  • Moeschlin, O., E. Grycko, C. Poppinga (2003): Angewandte Statistik. Kurs der FernUniversität, Hagen.

Lehrgebiet Stochastik | 01.07.2019