Elektronengas im elektrischen Feld

Konzept und Algorithmik E. Grycko
Implemetierung, Durchführung der Langzeitexperimente und digitale Aufnahme J. Rentmeister

Betrachtet wird ein 2-dimensionaler Stab. Im Inneren des Stabes befinden sich N=1000 Ladungsträger (Elektronen) der Ladung , die durch das Coulomb-Potential wechselwirken und einer thermischen Bewegung unterworfen sind mit der Maßgabe, dass ein am linken Rand des Stabes angekommenes Elektron rechts wieder eingefügt wird und vice versa. Die Elektronen kollidieren gelegentlich mit den Atomrümpfen des Stabes, was durch das Konzept der freien Weglänge ww wiedergegeben wird: Legt ein Elektron den Weg w zurück, dann wird seine Geschwindigkeit auf Null gesetzt. Durch Interaktion mit den anderen Elektronen nimmt das Elektron wieder eine nicht verschwindende (thermische) Geschwindigkeit an.

Zu einem Zeitpunkt t=0 wird im mittleren Bereich des Stabes ein homogenes elektrisches Feld der Stärke E in horizontaler Richtung eingeschaltet; dies hat zur Folge, dass die Elektronen im Feldbereich einer zusätzlichen Kraft F=E \cdot e ausgesetzt sind und von links nach rechts beschleunigt werden. Man beobachtet also einen Fluss der elektrischen Ladung (elektrischen Strom), der an einem Stabsquerschnitt dadurch erfasst werden kann, dass für jeden Zeitpunkt tt bestimmt wird, welche Ladung q im Zeitintervall [0,t] geflossen ist.

Abgesehen von Einschalteffekten erwartet man makroskopisch eine lineare Abhängigkeit zwischen Zeit tt und durchgeflossener Ladung q:

q = I \cdot t

wobei die Proportionalitätskonstante I bekanntlich als Stromstärke bezeichnet wird. Mikroskopisch ergibt sich im stationären Flusszustand nur näherungsweise ein linearer Zusammenhang zwischen Zeit t und durchgeflossener Ladung q, wodurch man auf das statistische Problem der Schätzung der Stromstärke I geführt wird.

Im Computerexperiment E1 wurde im mittleren Bereich des Stabes ein elektrisches Feld der Stärke E=2.0\cdot 10^{7} \frac{V}{m} eingeschaltet. Im Diagramm unten links des Screenshots zu E1 wird die durchgeflossene Ladung als Funktion der Experimentationszeit aufgezeichnet; man erkennt einen approximativ linearen Zusammenhang. Im Diagramm unten rechts wird die Schätzung der Stromstärke in Abhängigkeit der Experimentationszeit grafisch dargestellt.

Screenshot zu Experiment E1 in der Endphase des Experimentes
Screenshot zu Experiment E1 in der Endphase des Experimentes

In der Anfangsphase erkennt man den Einschalteffekt: Die Stromstärke steigt an und relaxiert nach einer gewissen Zeit auf einen stabilen Wert, so dass man gegen Ende des Experiments von einer statistisch validen Schätzung der stationären Stromstärke sprechen kann. Das Experiment E1 benötigte 2 Wochen Rechenzeit und ist zusammengefasst in Video V1.

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Abstand standard
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Im Computerexperiment E2 wurde die Feldstärke auf gesetzt. Im Diagramm unten rechts des Screenshots erkennt man noch einen kurzen Einschalteffekt; die Schätzungen der Stromstärke stabilisieren sich schneller als im Experiment E1. Experiment E2 ist zusammengefasst in Video V2.

Screenshot zu Experiment E2
Screenshot zu Experiment E2
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Im Experiment E3 wurde die Feldstärke eingestellt. Experiment E3 ist zusammengefasst in Video V3.

Im Experiment E3 wurde die Feldstärke eingestellt. Experiment E3 ist zusammengefasst in Video V3.

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Am Lehrgebiet Stochastik wurden noch weitere Langzeitexperimente durchgeführt, in denen die Feldstärke des elektrischen Feldes im mittleren Bereich des Stabes weiter variiert wurde mit dem Ziel, jeweils eine statistisch valide Schätzung der zugehörigen stationären Stromstärke zu ermitteln und damit das Ohmsche Gesetz fürden Stab, der als virtueller elektrischer Leiter aufgefasst wird, zu überprüfen Im Kontext der vorliegenden Versuchsanordnung suggeriert das Ohmsche Gesetz einen linearen Zusammenhang zwischen der angelegten Feldstärke E und dem stationären Wert der zugehörigen Stromstärke I

Am Lehrgebiet Stochastik wurden noch weitere Langzeitexperimente durchgeführt, in denen die Feldstärke des elektrischen Feldes im mittleren Bereich des Stabes weiter variiert wurde mit dem Ziel, jeweils eine statistisch valide Schätzung der zugehörigen stationären Stromstärke zu ermitteln und damit das Ohmsche Gesetz fürden Stab, der als virtueller elektrischer Leiter aufgefasst wird, zu überprüfen Im Kontext der vorliegenden Versuchsanordnung suggeriert das Ohmsche Gesetz einen linearen Zusammenhang zwischen der angelegten Feldstärke E und dem stationären Wert der zugehörigen Stromstärke I

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Diagramm: Elektrische Feldstärke - induzierte Stromstärke
Diagramm: Elektrische Feldstärke - induzierte Stromstärke
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Diagramm: Elektrische Feldstärke - induzierte Stromstärke
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Im Diagramm wurden auf der horizontalen Achse die im Computerexperiment angesetzten Feldstärken abgetragen; auf der vertikalen Achse wurden die zugehörigen stabilisierten Werte der Stromstärke markiert. Die fünf Punkte im Diagramm entsprechen den auf der Grundlage von Computerexperimenten erhobenen Werten. Da es sich bei den Werten der Stromstärke um statistische Schätzungen handelt, kann die approximative Linearität im Diagramm als eine Bestätigung des Ohmschen Gesetzes angesehen werden.
Die Autoren bedanken sich bei Herrn Dr. Müller-Gronbach für wertvolle Kommentare, die in die Ausgestaltung der Experimente eingeflossen sind.

Im Diagramm wurden auf der horizontalen Achse die im Computerexperiment angesetzten Feldstärken abgetragen; auf der vertikalen Achse wurden die zugehörigen stabilisierten Werte der Stromstärke markiert. Die fünf Punkte im Diagramm entsprechen den auf der Grundlage von Computerexperimenten erhobenen Werten. Da es sich bei den Werten der Stromstärke um statistische Schätzungen handelt, kann die approximative Linearität im Diagramm als eine Bestätigung des Ohmschen Gesetzes angesehen werden.
Die Autoren bedanken sich bei Herrn Dr. Müller-Gronbach für wertvolle Kommentare, die in die Ausgestaltung der Experimente eingeflossen sind.

Lehrgebiet Stochastik | 01.07.2019