Experimente mit zufälligen Schrödingeroperatoren

Schrödinger-Dynamik für zwei Teilchen

  • Projektleitung: W. Kirsch
  • Algorithmik: E. Grycko
  • Implementierung: J. Rentmeister

Das aktuelle Interesse an zufälligen Schrödinger- Operatoren bei namhaften Vertretern der Mathematischen Physik und Stochastik (vgl. Disertori et al. (2008) und Cycon et al. (2008) und die dort zitierte Literatur) sei eingangs konstatiert.

Dieses Interesse gilt insbesondere Untersuchungen von Schrödinger-Operatoren im Kontext eines diskreten Ortsraums , die einerseits leichter zugänglich sind als die Kontinuum-Theorie, und andererseits ein attraktives Feld für rechnergestützte Untersuchungen darstellen.
Im vorliegenden Experiment wurde ein 1-dimensionales endliches Gitter als ein Modell-Ortsraum für ein Elektronenpaar angesetzt. Dieses Modell ist inspiriert durch Kirsch (2008).
Der diskrete Schrödinger-Operator basiert auf einem zufälligen (Coulombschen) Wechselwirkungspotential und besitzt eine Matrix-Darstellung. Dementsprechend lässt sich die Spektralzerlegung der Matrix mit Hilfe des Jakobi-Algorithmus vornehmen (vgl. Press et al. (2007)), so dass die Matrixexponentiation numerisch vorgenommen werden kann. Dies wiederum führt auf eine effiziente Umsetzung der Schrödinger-Dynamik; die zeitliche Entwicklung der Zustandswahrscheinlichkeiten kann somit durch eine algorithmisch erzeugte bewegte Grafik visualisiert werden.

Der Experimentator kann zwischen symmetrischer und antisymmetrischer Zustandsfunktion für das Elektronenpaar wählen; da der Spinzustand nicht berücksichtigt wird, sind beide Fälle für die Ortsbeschreibung von Teilchen relevant. Beachten Sie, dass die Wahl des symmetrischen (antisymmetrischen) Initialzustandes, die Symmetrie (Antisymmetrie) für alle Zeitpunkte t>0 determiniert, was an Hand der Zustandskodierung im Sinne des Dichteoperatorformalismus verifiziert werden kann; vgl. Parthasarathy (1992).

Des Weiteren kann die Coulombsche Ion-Elektron-Wechselwirkung eingeschaltet werden, die Auswirkungen auf die Spektraldichte hat, die ihrerseits hier mit Hilfe eines Histogramms (vgl. Moeschlin et al. (2008)) geschätzt wird; dies kann als eine Interaktion von mathematisch-physikalischen und statistischen Methoden gewertet werden, die sich in jüngster Zeit als sehr ergiebig erwiesen hat, vgl. Grycko (2008) und Grycko, Kirsch (2009).

Literatur

  • H.L. Cycon, R.G. Froese, W. Kirsch, B. Simon (2008) Schrödinger Operators. 2nd. ed., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.
  • M. Disertori, W. Kirsch, A. Klein, F. Klopp, V. Rivasseau (2008): Random Schrödinger Operators. Centre National Recherche Scientifique, Paris.
  • E. Grycko (2008): On a statistical interrelation between boiling point and Debye temperature. Seminarberichte Mathematik, FernUniversität, Bd. 81, pp. 37-42.
  • E. Grycko, W. Kirsch (2009): On a statistical interrelation between boiling point and transition to superconductivity. General Mathematics 17, No. 2, p. 3-9.
  • W. Kirsch (2008): A Wegner estimate for multi-particle random Hamiltonians. Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom. 4, no. 1, pp. 121-127.
  • O. Moeschlin, E. Grycko, C. Poppinga (2008): Angewandte Statistik. Kurs der FernUniversität, Hagen.
  • K.R. Parthasarathy (1992): An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Birkhäuser, Basel.
  • W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery (2007): Numerical Recipes. Cambridge University Press, Cambridge.

Ansprechpartner: Dr. Eugen Grycko

Lehrgebiet Stochastik | 01.07.2019