Thermische Expansion eines virtuellen Festkörpers

Konzept und Algorithmik E. Grycko
Implementierung und digitale Aufnahme A. Lysenko
Technisches Management F. Recker, J. Horst

Die Länge L eines Festkörpers ist eine Funktion L: (0,T_{m}) \to \mathbb{R}_{+} seiner Temperatur, wobei T_{m} den Schmelzpunkt bezeichnet. Der Term \dfrac{L'(T)}{L(T)} heißt Koeffizient der thermischen Expansion bei der Temperatur T, wobei L' die erste Ableitung von L ist. Der Koeffizient der thermischen Expansion als Funktion der Temperatur ist materialspezifisch.
Das Video präsentiert einen zwidimensionalen virtuellen Festkörper, dessen Mikrobestandteile gemäß dem Lennard-Jones Potential (vgl. Jäckle (1978)) interagieren.
Liegt das Tupel der Positionsvektoren der Mikrobestandteile vor, dann lässt sich zunächst die zugehörige empirische Kovarianzmatrix der Konfiguration bestimmen (vgl. Moeschlin, Grycko (2006), chap. 7), die aufgrund des Verschiebungssatzes (Satz von Steiner) invariant unter Translationen des Festkörpers ist; da die Determinante einer Matrix gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte ist, ist die vierte Wurzel aus der Determinante der betrachteten empirischen Kovarianzmatrix invariant unter Drehungen der Kofiguration der Mikrobestandteile; eine Standardrechnung beweist, dass diese vierte Wurzel aus der Determinante verträglich ist mit den Homothetien des Konfigurationsraumes und somit als statistische Maßzahl für die Ausdehnung des Festkörpers verwendet werden kann, wenn die Positionsdaten seiner Mikrobestandteile erhoben werden können.
Nun lässt sich die Temperatur des virtuellen Festkörpers variieren, so dass die thermische Abhängigkeit seiner Ausdehnung im statistischen Sinne geschätzt werden kann; mit Hilfe der nichtparametrischen Regression ließ sich dann der Koeffizient der thermischen Expansion als Funktion der Temperatur schätzen, wobei die Rechnung eine qualitativ realistische Kurve ergab.

Video:

Screenshot zur Thermischen Expansion
Screenshot zur Thermischen Expansion

Literatur:

  • Jäckle, J. (1978): Einführung in die Transporttheorie. Vieweg, Braunschweig.
  • Moeschlin, O., E. Grycko (2006): Experimental Stochastics in Physics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York.

Lehrgebiet Stochastik | 01.07.2019