THEMA: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Stetige Verteilungsmodelle
pfeil_blaet_zu zurückvorpfeil_blaet_zu
Dichtefunktion

Wie wir gesehen haben, gilt für jedes einzelne : Daher ist bei stetigen Verteilungen eine Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht sinnvoll. Vielmehr ist ein theoretisches Gegenstück zum Histogramm von Bedeutung. Beim Histogramm stellt der Flächeninhalt unter der Häufigkeitsdichte ein Maß für die relative Häufigkeit dar. Im theoretischen Fall ist der Flächeninhalt unter einer Dichtefunktion dann gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert aus dem entsprechenden Intervall annimmt.

Flächeninhalte werden mathematisch durch Integrale dargestellt. Damit ist:



Mit der Verteilungsfunktion ausgedrückt ist die Wahrscheinlichkeit gleich . Beides zusammen ergibt:

Die Wahrscheinlichkeit wird durch den Inhalt der gesamten Fläche unter der Funktion , die links von liegt, dargestellt. Formal ist dies das Integral von .

Die zu einer stetigen Verteilungsfunktion gehörige Dichtefunktion ist die Funktion , für die gilt:


Quelle: Eigene Berechnungen

Auf dieser Laborseite haben Sie die Möglichkeit, die Beziehung zwischen Dichte- und Verteilungsfunktion selber noch weiter zu erkunden.

Zwischen Dichte- und Verteilungsfunktion gilt die Beziehung, die in der Mathematik als Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bezeichnet wird:

Damit eine Funktion eine Dichte sein kann, muss sie die beiden folgenden Eigenschaften aufweisen:



  Beispiel
Monatsrenditen

Im Management von Geldanlagen ist die zukünftige Kursentwicklung von besonderem Interesse. Die Rendite der Geldanlage über einen in der Zukunft liegenden Planungshorizont wird als zufällige Größe aufgefasst. Auf Grund der Komplexität der Einflussgrößen ist die Vorhersage von Kursentwicklungen äußerst problematisch. Um dennoch Aussagen treffen zu können, werden für die Entwicklung Modelle aufgestellt.

Für eine spezielle Monatsrendite wird aufgrund der Erfahrung eine symmetrische Dreiecksverteilung unterstellt. Da sich die Renditen um den Wert Eins zentrierten, wird für die Dichte der Ansatz


gewählt. Hier ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zukünftige Monatsrendite zwischen 1,5% und 3,5% liegt:


  Beispiel
Bogenschütze - Fortsetzung

Für die Treffergenauigkeit des ungeübten Bogenschützen haben wir die folgende Verteilungsfunktion erhalten:


Mit der Beziehung bekommen wir die Dichte:


MEDIEN
Applet Exponentialverteilung
ÜBUNGEN
Bogenschütze
Zwischenzeiten an der M345
Tagesrenditen
Pareto-Verteilung
BEISPIELE
Bogenschütze
Bogenschütze (Fortsetzung)
Monatsrenditen
Bogenschütze - Fortsetzung
Monatsrenditen - Fortsetzung
Beispiel zur Inversionsmethode (Monatsrenditen)
Strecke bis zum ersten "a"
Zusammenbrüche
Haftpflichtschäden
MATERIAL
Weblinks
pfeil_blaet_zu zurückvorpfeil_blaet_zu
pfeil_nachoben
www.lernmoduleditor.de