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PD Dr. Robert Rettinger: „Riemannscher Abbildungssatz: Theorie, Berechenbarkeit und Komplexität“

Termin: 20.01.2014

Der Vortrag findet im KSW Seminargebäude A, Erdgeschoss, Raum 1, Universitätsstr. 33, 58097 Hagen, statt.

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Der Vortrag findet im Rahmen des Hagenener Forschungsdialogs statt.

Abstract: Der Riemannsche Abbildungssatz ist einer der fundamentalen Ergebnisse der Funktionentheorie. Er garantiert die Existenz konformer, d.h. winkelerhaltender, Abbildungen beliebiger einfach zusammenhängender Teilgebiete der Ebene auf den Einheitskreis.

Neben seiner Bedeutung in der Theorie besitzt er zahlreiche potentielle Anwendungen, u.a. in der Physik, Numerik und Computergrafik. Es ist daher nicht verwunderlich, dass in den letzten hundert Jahren zahlreiche Verfahren zur Konstruktion solcher Abbildungen entwickelt wurden. Ein formaler Beweis, dass die Abbildungen tatsächlich mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden können, wurde von P. Hertling (1997) mit Hilfe einer dieser Konstruktionen gegeben.

Keines der bekannten Verfahren, wie etwa Schmiegungsverfahren, Circle Packing oder Random Walk, berechnet konforme Abbildungen aber ausreichend effizient. Obwohl dies für jedes einzelne Verfahren lange bekannt war, wurde eine allgemeine untere Schranke erst vor wenigen Jahren von I. Binder, M. Braverman und M. Yampolsky (2007) mit Mitteln der Komplexitätstheorie gezeigt: Effiziente Algorithmen werden für diese Abbildungen -- nach heutigem Wissensstand -- nicht möglich sein.

Für einige wichtige Spezialfälle sind hingegen schnelle Verfahren bekannt: Für Gebiete mit analytischen Rand kann man z.B. den Bergmann- Kern zur effizienten Berechnung heranziehen. Für polygonale Ränder erhält man den Spezialfall der Schwarz-Christoffel-Abbildungen, für die zahlreiche Algorithmen und Softwarepakete entwickelt wurden. Obwohl diese Algorithmen in der Praxis sehr erfolgreich sind, wurde erst 2010 die Existenz beweisbar effizienter Algorithmen in diesem Fall und für eine größere Klasse von Gebieten nachgewiesen (R. Rettinger). Heute ist ein (beweisbar korrekter) Algorithmus bekannt, der Schwarz-Christoffel-Abbildungen in linearer Zeit berechnet (C.J. Bishop 2010).

In diesem Vortrag werden einige dieser jüngeren Ergebnisse vorgestellt. U.a. werden wir zeigen, dass der heute meist verwendete, sehr elegante Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes von W.F. Osgood weitaus konstruktiver ist als weithin angenommen.

videostreaming | 20.10.2015
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