Von Spezialfällen zur Allgemeingültigkeit

Gehe aus dem Haus, biege rechts ab und folge der Straße für 100 Meter. So kommst du zum nächsten Bäcker – zumindest in diesem einen Fall. Eine universell gültige Wegbeschreibung, die von überall aus immer zum nächsten Bäcker führt, ist es natürlich nicht. Gleiches gilt häufig auch bei mathematischen Aussagen. Für einen bestimmten Fall haben sie Gültigkeit. Verallgemeinern lassen sie sich jedoch nicht. Es gibt jedoch Fälle, in denen sich mathematische Aussagen als deutlich allgemeiner gültig erweisen als bislang bekannt. Die FernUni-Mathematikerin Dr. Sophia Keip hat solche Verallgemeinerungen zum Inhalt ihrer Doktorarbeit gemacht.

Als wissenschaftliche Mitarbeiterin am Lehrstuhl für Diskrete Mathematik und Optimierung an der FernUniversität in Hagen hat sie in ihrer Promotion Komplexe aus orientierten Matroiden (auf Englisch: complexes of oriented matroids oder kurz COMs) untersucht. Dabei konnte sie in drei verschiedenen Fällen zeigen, dass mathematische Aussagen weit über den Bereich hinaus gelten, für den sie ursprünglich bewiesen wurden.

Forschung zu Komplexen aus orientierten Matroiden

„COMs sind hochabstrakte Strukturen, die eine Verallgemeinerung verschiedener kombinatorischer Objekte darstellen. Sie fassen die Eigenschaften zusammen, die alle entsprechenden Objekte teilen“, erklärt die Mathematikerin ihren Ansatz. Bei der Betrachtung von COMs lässt sich daher herausfinden, welche mathematischen Zusammenhänge nur in speziellen Situationen gelten und welche sich auf den wesentlich allgemeineren COM-Kontext übertragen lassen. Es ist ein noch recht junges Forschungsfeld, das erst seit Ende der 2010er Jahre untersucht wird.

Sophia Keip konnte in drei Fällen mathematische Aussagen auf COMs verallgemeinern, die zuvor nur für Spezialfälle bewiesen waren. „Am komplexesten war hierbei sicherlich die Varchenko-Matrix.“ Die Varchenko-Matrix dient dazu, die Struktur von Anordnungen von Geraden und Ebenen – ein Spezialfall der COMs – mathematisch zu beschreiben. Das Besondere: Obwohl die Matrix sehr kompliziert aussehen kann, folgt ihre Determinante, also eine Zahl, die wichtige Informationen über die zugrunde liegende geometrische Struktur enthält, einem erstaunlich einfachen Muster. Die FernUni-Mathematikerin konnte dieses Resultat auf die allgemeineren Komplexe aus orientierten Matroiden übertragen. Bei der Verallgemeinerung auf COMs zeigte sie: Die Determinante der Matrix lässt sich weiterhin in einfache Faktoren zerlegen.

Ein „schöner“ 15 Seiten langer Beweis

Für ihren Beweis hat sie viele verschiedene mathematische Techniken angewandt. Insgesamt nimmt er gute 15 Seiten ihrer Dissertation ein. „Zudem ist das Ergebnis eine besonders schöne und elegante Formel. Und die Schönheit der Mathematik ist für uns Mathematiker:innen schließlich ebenfalls ein wichtiger Aspekt“, ergänzt sie schmunzelnd.

Außerdem ist durch diese Forschung ein Nebenprojekt entstanden: „Uns ist aufgefallen, dass ein Hilfssatz auch zum Kirchberger Theorem führt.“ Der Satz von Kirchberger befasst sich mit Punkten im Raum. Für nicht Mathematiker:innen erklärt Sophia Keip ihn so: „Auf einer Weide stehen schwarze und weiße Schafe. Diese möchte ich mit einem geraden Zaun voneinander trennen. Der Satz von Kirchberger besagt: Wenn ich jede Teilmenge von vier Schafen durch einen geraden Zaun trennen kann, weiß ich, dass ich auch alle so trennen kann.“ Diesen Satz hat Keip auf COMs übertragen. Dadurch konnte sie ihn viel allgemeiner beweisen. „Und außerdem wird der Beweis des Satzes durch die Verallgemeinerung interessanterweise viel einfacher.“

Fakultätspreis und hochrangige Publikation

Insgesamt sind aus ihrer Doktorarbeit, die sie im Sommer verteidigt hat, bisher drei Publikationen und ein Preprint entstanden. Ihre Arbeit zur Varchenko-Determinante konnte sie besonders hochrangig im Journal Combinatorica veröffentlichen. Zudem bekam sie hierfür Ende 2025 den Fakultätspreis der Fakultät für Mathematik und Informatik.

Mittlerweile ist Sophia Keip nicht mehr an der FernUniversität beschäftigt, sondern arbeitet beim Softwarekonzern SAP im Bereich Quantencomputing in der Optimierung. Hierbei kommen ihr die Erkenntnisse aus der Doktorarbeit zwar nur in Ansätzen zugute, von ihrer Zeit an der FernUniversität profitiert sie aber in mehrfacher Hinsicht.

„Zum einen hilft mir, dass ich am Lehrstuhl viel Lehre im Bereich der Optimierung gemacht habe. Das kann ich jetzt direkt anwenden. Außerdem war ich im Laufe meiner Promotion zweimal mehrere Monate für Forschungsaufenthalte am Lawrence Berkeley National Laboratory in Kalifornien.“ Dort wirkte die Mathematikerin an der Entwicklung eines Softwarepaketes zur Simulation von Quantenschaltkreisen mit. Finanziert wurden die Forschungsaufenthalte über den flexiblen Fonds Nachwuchs der FernUniversität in Hagen beziehungsweise über den Sichtbarkeitsfonds der Fakultät für Mathematik und Informatik.