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Aktuelles - November 2017

Vom Gitternetz zum Objekt

Prof. André Schulz hält das Modell eines Polyeders in den Händen.
Prof. André Schulz hält das Modell eines Polyeders in den Händen. (Foto: FernUniversität)

Zirkel, Geodreieck und Lineal – daran denken viele beim Wort „Geometrie“. Für seine wissenschaftliche Tätigkeit an der FernUniversität in Hagen greift Prof. Dr. André Schulz auf exaktere Mittel zurück: Er und sein Team vom Lehrgebiet Theoretische Informatik, das er seit 2015 leitet, nutzen moderne Rechensoftware und Algorithmen, um geometrische Objekte zu visualisieren. Bei seiner Antrittsvorlesung zeigte der Wissenschaftler jetzt einen Ausschnitt seiner Arbeit. Mit dem Vortragsthema verwies Prof. Schulz auf ein mathematisches Problem, für das die Forschung bislang keine vollständig befriedigende Lösung finden konnte: „Wie zeichnet man ein Polyeder?“

Gemeint sind keine Zeichnungen mit Bleistift auf Millimeterpapier: André Schulz ist Algorithmen auf der Spur, die zweidimensionale Graphen zu dreidimensionalen Körpern, sogenannten Polyedern, umformen. „Polyeder sind elementare geometrische Objekte, die bereits seit der Antike untersucht werden“, erklärt der Forscher. Viele Beispiele solcher Gebilde sind aus dem Mathematikunterricht bekannt – etwa Pyramiden, Würfel oder Quader. Sie weisen also ausschließlich ebene Flächen auf. Auch komplexe Objekte wie das Rhombendodekaeder mit zwölf viereckigen Flächen zählen zu den Polyedern.

Kompakte Körper als Ziel

Die Graphen, von denen André Schulz‘ Überlegungen ausgehen, kann man sich als „Gitternetze“ vorstellen. Tatsächlich erinnert ihr Aussehen vage an auf dem Boden ausgebreitete Fischernetze. Von solchen Gittern auf einen dreidimensionalen geometrischen Körper zu schließen, ist nicht einfach: „Graphen enthalten ausschließlich kombinatorische Daten über die Struktur eines Objektes, also zum Beispiel Informationen darüber, welche Flächen wie miteinander ‚verklebt‘ sind“, erklärt Schulz. „Was fehlt, sind die geometrischen Daten, also die Werte der einzelnen Koordinaten.“ So kann man zwar von einem Gitternetz auf eine Pyramide abstrahieren; doch darüber, wie groß oder klein diese wäre und ob sie eher „wohlproportioniert“ oder völlig asymmetrisch geformt sein würde, gibt der Graph keine Auskunft.

Das hat sichtbare Folgen für den mathematischen Anwendungsfall: Auf Grundlage eines „flachen“ Gitternetzes kann ein dreidimensionales Objekt erstellt werden, dieses nimmt aber teils überbordende Ausmaße an. Die Visualisierung des Körpers am PC-Monitor sieht dann unter Umständen besonders langgezogen oder gestaucht aus, was Schulz nicht zufriedenstellt: „Unser Ziel ist, ein kompaktes Polyeder zu realisieren. Zuerst müssten dafür die Koordinaten, die aus dem Algorithmus hervorgehen, ganzzahlig und möglichst klein werden – schon weil so komplizierte Zahlen wie ‚Pi‘ einen zu hohen Rechenaufwand bedeuten“, so der Forscher. „Erst wenn wir diesen Schritt geschafft haben, können wir weitere Wünsche an das Verfahren äußern, damit die Polyeder noch ‚schöner‘ werden.“

Geometrie in der Informatik

Die Suche nach der besten Art, Polyeder zu zeichnen, ist mehr als ein mathematisches Gedankenspiel. „Die Frage ist elementar für Informatiker wie Mathematiker und die Geometrie in fast jedem ihrer Teilgebiete präsent“, betont Schulz. Jeder Fortschritt könnte somit auch die moderne Informationstechnik ein Stück voranbringen: „Geometrie spielt auch dort eine Rolle, wo man es nicht vermuten würde, etwa beim Thema ‚Big Data‘. Die erhobenen Daten haben sehr viele Dimensionen, sodass auch hier geometrische Algorithmen zum Einsatz kommen. Diese helfen dann zum Beispiel, gesammelte Bewegungsdaten mit ihren vielen Parametern in eine einfachere Struktur mit weniger Dimensionen zu übertragen.“

Aktuell wird das Forschungsprojekt „Graphzeichnen mit niedriger visueller Komplexität“ im Lehrgebiet Theoretische Informatik von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) gefördert. Hierin geht es um zweidimensionales Zeichnen auf Basis von Graphen.


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Benedikt Reuse | 09.11.2017
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